资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，在△ABC中，AB＝2.2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（ ）
A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.2
3．从这七个数中随机抽取一个数记为，则的值是不等式组的解，但不是方程的实数解的概率为（ ）．
A． B． C． D．
4．如果，那么＝（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC≌△AEF且点F在BC上，若AB=AE，∠B=∠E，则下列结论错误的是（ ）
A．AC=AF B．∠AFE=∠BFE C．EF=BC D．∠EAB=∠FAC
6．向阳村年的人均收入为万元，年的人均收入为万元．设年平均增长率为，根据题意，可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
7．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为（ ）
A．1 cm B．7cm C．3 cm或4 cm D．1cm 或7cm
8．有三个质地、大小一样的纸条上面分别写着三个数，其中两个正数，一个负数，任意抽取一张，记下数的符号后，放回摇匀，再重复同样的操作一次，试问两次抽到的数字之积是正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．某校准备修建一个面积为200平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的宽为x米，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣12）=200 B．2x+2（x﹣12）=200
C．x（x+12）=200 D．2x+2（x+12）=200
10．如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（ ）．
A．60° B．50° C．40° D．20°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点．若的面积为8，则的值为________．
12．若反比例函数的图象经过点(2，﹣2)，(m，1)，则m＝_____．
13．把抛物线的图像向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图像的解析式为,则的值为___________．
14．已知实数m，n满足，，且，则= ．
15．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝________．
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=，那么cos∠B=_____．
17．有一列数，，，，，，则第个数是_______．
18．长为的梯子搭在墙上与地面成角，作业时调整为角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知，，，（如图），点，分别为射线上的动点（点C、E都不与点B重合），连接AC、AE使得，射线交射线于点，设，.
（1）如图1，当时，求AF的长.
（2）当点在点的右侧时，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域.
（3）连接交于点，若是等腰三角形，直接写出的值.
20．（6分）如图，一次函数和反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为1．
（1）求的值及，两点的坐标
（1）当时，求的取值范围．
21．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点在轴上，且的面积为，求点的坐标.
22．（8分）甲乙两人参加一个幸运挑战活动，活动规则是：一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，乙再摸出一个球，若颜色相同，则挑战成功．
（1）用列表法或树状图法，表示所有可能出现的结果．
（2）求两人挑战成功的概率．
23．（8分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．
24．（8分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为
25．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，的解集．
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．
26．（10分）已知:如图，正方形为边上一点，绕点逆时针旋转后得到．
如果，求的度数；
与的位置关系如何?说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】解：根据题意可得当0＜x＜8时，其中有一个x的值满足y=2，
则对称轴所在的位置为0＜h＜4
故选：D
本题考查二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
2、B
【分析】运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．
【详解】解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝3.6﹣2.2＝1.1．
故选：B．
该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．
3、B
【分析】先解不等式，再解一元二次方程，利用概率公式得到概率
【详解】
解①得，，
解②得，．
∴．
∵的值是不等式组的解，
∴．
方程，
解得，．
∵不是方程的解，
∴或．
∴满足条件的的值为，（个）．
∴概率为．
故选．
4、D
【分析】直接利用已知进行变形进而得出结果．
【详解】解：∵，
∴3x+3y＝5x，
则3y＝2x，
那么＝．
故选：D．
本题考查了比例的性质，正确将已知变形是解题的关键．
5、B
【分析】全等三角形的对应边相等，对应角相等，△ABC≌△AEF，可推出AB＝AE，∠B＝∠E，AC＝AF，EF＝BC．
【详解】∵△ABC≌△AEF
∴AB＝AE，∠B＝∠E，AC＝AF，EF＝BC
故A，C选项正确．
∵△ABC≌△AEF
∴∠EAF＝∠BAC
∴∠EAB＝∠FAC
故D答案也正确．
∠AFE和∠BFE找不到对应关系，故不一定相等．
故选：B．
本题考查全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，对应角相等．
6、A
【分析】设年平均增长率为，根据：2017年的人均收入×1+增长率=年的人均收入，列出方程即可．
【详解】设设年平均增长率为，根据题意，得：
，
故选：A．
本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
7、D
【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可.
【详解】当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AE=4cm，CF=3cm，
∵OA=OC=5cm，
∴EO=3cm，OF=4cm，
∴EF=OF-OE=1cm；
当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AE=4cm，CF=3cm，
∵OA=OC=5cm，
∴EO=3cm，OF=4cm，
∴EF=OF+OE=7cm．
故选D．
本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键，要注意有两种情况．
8、C
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果与两次抽到的数字之积是正数的情况数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：两个正数分别用a，b表示，一个负数用c表示，画树状图如下：
共有9种等情况数，其中两次抽到的数字之积是正数的有5种，
则两次抽到的数字之积是正数的概率是；
故选：C．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9、C
【解析】解：∵宽为x，长为x+12，∴x（x+12）=1．故选C．
10、B
【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小.
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点，可得到四边形DBAE和三角形OBC的面积相等，通过面积转化，可求出k的值．
【详解】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，
∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．
的面积与四边形的面积相等，
∴四边形DEAB＝8，
设D点的横坐标为x，纵坐标就为
∵D为OB的中点．
∴
∴四边形DEAB的面积可表示为：
∴
故答案为：
本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．
12、-1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．
【详解】解：设反比例函数的图象为y＝，把点（2，﹣2）代入得k＝﹣1，
则反比例函数的图象为y＝﹣，把（m，1）代入得m＝﹣1．
故答案为﹣1．
本题考查反比例函数图象的性质,关键在于熟记性质.
13、
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后的抛物线解析式，化为一般形式即可得解.
【详解】由题意，得
平移后的抛物线为：
即
∴
故答案为：4.
此题主要考查根据抛物线的平移规律求参数，熟练掌握，即可解题.
14、．
【解析】试题分析：由时，得到m，n是方程的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．
试题解析：∵时，则m，n是方程3x2﹣6x﹣5=0的两个不相等的根，∴，．
∴原式===，故答案为．
考点：根与系数的关系．
15、1， ，
【分析】分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形，进而得出结果．
【详解】BC＝6,CD=2，
∴BD=4,
①如图，当DP∥AB时，△PDC∽△ABC，
∴,∴,∴DP=1;
②如图，当DP∥AC时，△PBD∽△ABC．
∴,∴,∴DP=;
③如图，当∠CDP=∠A时，∠DPC∽△ABC，
∴,∴,∴DP=;
④如图，当∠BPD=∠BAC时，过点D的直线l与另一边的交点在其延长线上，，不合题意。
综上所述，满足条件的DP的值为1， ，.
本题考查了相似变换，利用分类讨论得出相似三角形是解题的关键，注意不要漏解．
16、
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°，进而得出∠B的度数，进而得出答案．
【详解】∵tan∠A=，
∴∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°，
∴cos∠B=．
故答案为：．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的计算公式是解题关键．
17、
【分析】原来的一列数即为，，，，，，于是可得第n个数是，进而可得答案．
【详解】解：原来的一列数即为：，，，，，，
∴第100个数是．
故答案为：．
本题考查了数的规律探求，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质、找到规律是解题的关键．
18、2－2
【详解】由题意知：平滑前梯高为4•sin45°=4•=．
平滑后高为4•sin60°=4•=．
∴升高了m．
故答案为.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）；（3）或或.
【分析】过点作于N，利用∠B的余弦值可求出BN的长，利用勾股定理即可求出AN的长，根据线段的和差关系可得CN的长，利用勾股定理可求出AC的长，根据AD//BC，AD=BC即可证明四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，进而可证明△ABC∽△ADF，根据相似三角形的性质即可求出AF的长；（2）根据平行线的性质可得，根据等量代换可得，进而可证明△ABC∽△ABE，根据相似三角形的性质可得，可用x表示出BE、CE的长，根据平行线分线段成比例定理可用x表示出的值，根据可得y与x的关系式，根据x>0，CE>0即可确定x的取值范围；（3）分PA=PD、AP=AD和AD=PD三种情况，根据BE=及线段的和差关系，分别利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案.
【详解】（1）如图，过点作于N，
∵AB=5，，
∴在中，=5×=3，
∴AN===4，
∵BC=x=4，
∴CN=BC-BN=4-3=1，
在中，，
∵AD=4，BC=x=4，
∴AD=BC，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴△ABC∽△ADF，
∴，
∴
解得：，
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△ABE，
∴，
∴，
∵AD//BC，
∴，
∴，
∵x>0，CE=>0，
∴0<x<5，
∴，
（3）①如图，当PA=PD时，作AH⊥BM于H，PG⊥AD于G，延长GP交BM于N，
∵PA=PD，AD=4，
∴AG=DG=2，∠ADB=∠DAE，
∵AD//BE，
∴GN⊥BE，∠DAE=∠AEB，∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠AEB，
∴PB=PE，
∴BN=EN=BE=，
∵，AB=5，
∴BH=AB·cos∠ABH=3，
∵AH⊥BM，GN⊥MB，GN⊥AD，
∴∠AHN=∠GNH=∠NGA=90°，
∴四边形AHNG是矩形，
∴HN=AG=2，
∴BN=BH+HN=3+2=5，
∴=5，
解得：x=.
②如图，当AP=AD=4时，作AH⊥BM于H，
∴∠ADB=∠APD，
∵AD//BM，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠APD=∠BPE，
∴∠DBC=∠BPE，
∴BE=PE=，
∵cos∠ABC=，AB=5，
∴BH=3，AH=4，
∴在Rt△AEH中，(4+)2=42+(3-)2，
解得：x=，
③如图，当AD=PD=4时，作AH⊥BM于H，DN⊥BM于N，
∴∠DAP=∠DPA，
∵AD//BM，
∴∠DAP=∠AEB，
∵∠APD=∠BPE，
∴∠BPE=∠AEB，
∴BP=BE=，
∵cos∠ABC=，AB=5，
∴BH=3，AH=4，
∵AD//BM，AH⊥BM，DN⊥BM，
∴四边形AHND是矩形，
∴DN=AH=4，HN=AD=4，
中Rt△BND中，(4+)2=42+(4+3)2，
解得：x=，
综上所述：x的值为或或.
本题考查相似三角形的综合，熟练掌握锐角三角函数的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想是解题关键.
20、（1）；（1）或
【分析】（1）将x=1代入求得A（1，3），将A（1，3）代入求得，解方程组得到B点的坐标为（-6，-1）；
（1）反比例函数与一次函数的交点坐标即可得到结论．
【详解】解：（1）将代入，
得，
∴．
将代入，
得，
∴，
∴，
解得（舍去）或．
将代入，
得,
∴．
（1）由图可知，当时，或．
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的理解题意是解题的关键．
21、（1）；（2）或
【分析】（1）先把点代入解得的值，再代入反比例函数中解得的值即可；
（2）的面积可以理解为是以MC为底，点A的纵坐标为高，根据三角形的面积公式列式求解即可.
【详解】解：（1）把点代入，得，解得：，
把代入反比例函数，
；
反比例函数的表达式为；
（2）一次函数的图象与轴交于点，
，
设，
，
，
或，
的坐标为或.
本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，注意的值有两个.
22、（1）见解析；（2）．
【分析】用列表法列举出所有等可能出现的结果，从中找出颜色相同的结果数，进而求出概率．
【详解】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
（2）共有9种等可能出现的结果，其中颜色相同的有5种，
∴P（颜色相同）＝，
答：获胜的概率为．
考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
23、（1）详见解析；（2）BD=9.6.
【解析】试题分析：(1)连接OB，由垂径定理可得BE=DE，OE⊥BD， ，再由圆周角定理可得 ，从而得到∠ OBE＋∠ DBC＝90°，即 ，命题得证.
(2)由勾股定理求出OC，再由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长.
试题解析：(1)证明：如下图所示，连接OB.
∵ E是弦BD的中点，∴ BE＝DE，OE⊥ BD，，
∴∠ BOE＝∠ A，∠ OBE＋∠ BOE＝90°.
∵∠ DBC＝∠ A，∴∠ BOE＝∠ DBC，
∴∠ OBE＋∠ DBC＝90°，∴∠ OBC＝90°，即BC⊥OB，∴ BC是⊙ O的切线．
(2)解：∵ OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴ ,
∵ ，∴ ，
∴.
点睛：本题主要考查圆中的计算问题，解题的关键在于清楚角度的转换方式和弦长的计算方法.
24、（1） ，D（1，4）；（2） PD+PH 最小值
【分析】（1）根据题意把已知两点的坐标代入，求出b、c的值，就可以确定抛物线的解析式，配方或用公式求出顶点坐标；
（2）由题意根据B、D两点的坐标确定中点H的坐标，作出H点关于y轴的对称点点H′，连接H′D与y轴交点即为P，求出H′D即可.
【详解】解：（1）∵抛物线过点A（-1，0），B（3，0）,
∴,解得,
∴所求函数的解析式为：,
化为顶点式为：=-（x-1）2+4，
∴顶点D（1，4）;
（2）∵B（3，0），D（1，4）,
∴中点H的坐标为（2，2）其关于y轴的对称点H′坐标为（-2，2）,
连接H′D与y轴交于点P，
则PD+PH最小且最小值为：.
本题考查用待定系数法确定二次函数的解析式和最短路径的问题，熟练掌握待定系数法是关键．
25、（1），y＝﹣x+5；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）P的坐标为（，0），见解析.
【解析】（1）把A（1，4）代入y＝，求出m＝4，把B（4，n）代入y＝，求出n＝1，然后把把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，即可求出一次函数解析式；
（2）根据图像解答即可；
（3）作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，然后用待定系数法求出直线AB′的解析式即可.
【详解】解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝的下方；
∴当x＞0时，kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；
（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，
∵B（4，1），
∴B′（4，﹣1），
设直线AB′的解析式为y＝px+q，
∴，
解得，
∴直线AB′的解析式为，
令y＝0，得，
解得x＝，
∴点P的坐标为（，0）．
本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，利用图像解不等式，轴对称最短等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确识图是解（2）的关键，根据轴对称的性质确定出点P的位置是解答（3）的关键.
26、（1）20°，（2），详见解析
【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFD≌△AEB，则有AE＝AF，∠DAF＝90°，∠AEB＝∠DFA＝65°，然后利用∠DFE＝∠DFA－∠EFA即可求出答案．
（2）由旋转的性质得∠EBA＝∠FDA，通过等量代换即可得出∠DFA＋∠EBA＝90°，即BG⊥DF．
【详解】解：（1）根据旋转的性质可知：△AFD≌△AEB，
即AE＝AF，∠DAF＝90°，∠AEB＝∠DFA＝65°，
∴∠AFE＝45°，
∴∠DFE＝∠DFA－∠EFA＝20°
（2）延长BE与DF相交于点G．
∵∠DAF＝90°，
∴∠DFA＋∠ADF＝90°，
∵∠EBA＝∠FDA，
∴∠DFA＋∠EBA＝90°，
∴BG⊥DF，即BE与DF互相垂直．
本题主要考查旋转的性质和全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
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