资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，反比例函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
3．一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S=10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（ ）
A．72米 B．36米 C．米 D．米
4．如图，正方形ABCD中，AD＝6，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，延长DF交BC与点M,连接BF、DG．以下结论：①∠BFD+∠ADE=180°；②△BFM为等腰三角形；③△FHB∽△EAD；④BE=2FM⑤S△BFG＝2.6 ⑥sin∠EGB＝；其中正确的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
6．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( )
A． B． C． D．
7．四张分别画有平行四边形、等腰直角三角形、正五边形、圆的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
8．抛物线可由抛物线如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
9．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若此蓄电池为某用电器的电源，限制电流不能超过12A，那么用电器的可变电阻R应控制在什么范围？（ ）
A．R≥3Ω B．R≤3Ω C．R≥12Ω D．R≥24Ω
10．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知点在直线上，也在双曲线上，则m2+n2的值为______．
12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
13．正方形A1B1C2C1，A2B2C3C2，A3B3C4C3按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3和点C1、C2、C3、C4分别在抛物线y＝x2和y轴上，若点C1（0，1），则正方形A3B3C4C3的面积是________．
14．如果，那么的值为______．
15．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为_____m.
16．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为______.
17．如图，在中，，是边上的中线，，则的长是__________．
18．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC，AG⊥BC于点G，与DE交于点F．已知，BC＝10，AF＝1．FG＝2，求DE的长．
20．（6分）解方程：x2﹣6x+8＝1．
21．（6分）如图所示，直线y=x+2与双曲线y=相交于点A(2，n)，与x轴交于点C．
(1)求双曲线解析式；
(2)点P在x轴上，如果△ACP的面积为5，求点P的坐标.
22．（8分） (1)问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.
求证：AD·BC=AP·BP．
(2)探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
(3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．
23．（8分）已知关于的一元二次方程 有实根．
（1）求的取值范围；
（2）求该方程的根．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，∠ABO＝90°，AB＝BO，直线y＝﹣3x﹣4与反比例函数y＝交于点A，交y轴于C点．
（1）求k的值；
（2）点D与点O关于AB对称，连接AD、CD，证明△ACD是直角三角形；
（3）在（2）的条件下，点E在反比例函数图象上，若S△OCE＝S△OCD，求点E的坐标．
25．（10分）齐齐哈尔新玛特商场购进大嘴猴品牌服装每件成本为100元，在试销过程中发现：销售单价元，与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出与之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
（2）写出每天的利润（元）与销售单价之间的函数解析式；并确定将售价定为多少元时，能使每天的利润最大，最大利润是多少？
26．（10分）如图，已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线 经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点, 抛物线与x轴另一个交点为D．
（1）求图中抛物线的解析式；
（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．
【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，，．
A、三角形三边分别是2，， 3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B、三角形三边2，4，，与给出的三角形的各边成比例，故B选项正确；
C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D、三角形三边，，4，与给出的三角形的各边不成正比例，故D选项错误．
故选：B．
此题考查了相似三角形的判定，注意三边对应成比例的两三角形相似．
2、B
【分析】比例系数k=1＞0，根据反比例函数图像的特点可判断出函数图像．
【详解】∵比例系数k=1＞0
∴反比例函数经过一、三象限
故选：B．
本题考查反比例函数图像的分布，当k>0时，函数位于一、三象限．当k＜0时，函数位于二、四象限．
3、B
【分析】求滑下的距离，设出下降的高度，表示出水平高度，利用勾股定理即可求解.
【详解】当时，，
设此人下降的高度为米，过斜坡顶点向地面作垂线，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
解得.
故选：.
此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键.
4、C
【分析】根据正方形的性质、折叠的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理对各个选项依次进行判断、计算，即可得出答案．
【详解】解：正方形ABCD中，，E为AB的中点，
，，，
沿DE翻折得到，
，，，，
，，
，
又，
，
，
∴，
又∵,,
∴∠BFD+∠ADE=180°，故①正确；
∵,,
∴
又∵,，
∴，
∴MB=MF，
∴△BFM为等腰三角形；故②正确；
，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∽，故正确；
，,
，
∵在和中，，
≌，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴EG=5,，,
∴sin∠EGB＝,故⑥正确；
∵，,,
∴,
又∵，
∴∽,
∴
∴BE=2FM，故④正确；
∽，且，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：舍去或，
，故错误；
故正确的个数有5个，
故选：C.
本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数等知识，本题综合性较强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
5、C
【详解】∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选C．
6、B
【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．
【详解】解：由题意可画树状图如下：
根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：．
本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．
7、B
【分析】先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可．
【详解】解：∵四张卡片中中心对称图形有平行四边形、圆，共2个，
∴卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为，
故选B．
此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，关键是找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数．
8、A
【分析】先将抛物线化为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可．
【详解】因为，
所以将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线，
故选A．
本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键.
9、A
【分析】直接利用图象上点的坐标得出函数解析式，进而利用限制电流不能超过12A，得出电器的可变电阻R应控制范围．
【详解】解：设I＝，把（9，4）代入得：U＝36，故I＝，
∵限制电流不能超过12A，
∴用电器的可变电阻R≥3，
故选：A．
本题考查了反比例的实际应用，数形结合，利用图像解不等式是解题的关键
10、B
【分析】由抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，可判断a、b、c的符号，可判断①，利用对称轴可判断②，由当x=-2时的函数值可判断③，当x=1时的函数值可判断④，从而得出答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴上方，∴a＜0，c＞0，
∵0＜-＜1，∴b＞0，且b＜-2a，∴abc＜0，2a+b＜0，故①不正确，②正确；
∵当x=-2时，y＜0，∴4a-2b+c＜0，故③正确；
∵当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，又c＞0，∴a+b+2c＞0，故④正确；
综上可知正确的有②③④，
故选：B．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．
详解：∵点P（m，n）在直线y=-x+2上，
∴n+m=2，
∵点P（m，n）在双曲线y=-上，
∴mn=-1，
∴m2+n2=（n+m）2-2mn=4+2=1．
故答案为1．
点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间的关系是解题关键．
12、k＜5且k≠1．
【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：且
故答案为且
13、2+．
【分析】先根据点C1（0，1）求出A1的坐标，故可得出B1、A2、C2的坐标，由此可得出A2C2的长，可得出B2、C3、A3的坐标，同理即可得出A3C3的长，进而得出结论．
【详解】∵点（0，1），四边形，，均是正方形，点、、和点、、、分别在抛物线和y轴上，
∴（1，1），（0，2），
∴（，2），
∴（0，2+），
∵点的纵坐标与点相同，点在二次函数的图象上，
∴（，），即，
∴．
故答案为：2+．
本题考查的是二次函数与几何的综合题，熟知正方形的性质及二次函数图象上点的坐标特点是解答此题的关键．
14、
【分析】利用因式分解法求出的值，再根据可得最终结果．
【详解】解：原方程可化为：，
解得：或，
∵，
∴．
故答案为：．
本题考查的知识点是解一元二次方程以及锐角三角函数的定义，熟记正弦的取值范围是解此题的关键．
15、1．
【解析】试题解析：
设这栋建筑物的高度为
由题意得
解得：
即这栋建筑物的高度为
故答案为1．
16、
【分析】先把代入求出n的值，然后根据图像解答即可.
【详解】把代入，得
-n-2=-4，
∴n=2，
∴当x<2时，.
故答案为：x<2.
本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，以及一次函数和一元一次不等式的关系、数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
17、10
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半直接求解即可.
【详解】解：∵在中，，是边上的中线
∴
∴AB=2CD=10
故答案为：10
本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握直角三角形的性质是本题的解题关键.
18、x=±1
【解析】移项得x1=4，
∴x=±1．
故答案是：x=±1．
三、解答题(共66分)
19、2
【分析】根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的高之比等于相似比即可求出DE的长度．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AG⊥BC，
∴AF⊥DE，
∴＝，
∵BC＝10，AF＝1，FG＝2，
∴DE＝10×＝2．
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
20、x1＝2 x2＝2．
【分析】应用因式分解法解答即可.
【详解】解：x2﹣6x+8＝1
（x﹣2）（x﹣2）＝1，
∴x﹣2＝1或x﹣2＝1，
∴x1＝2 x2＝2．
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解答关键是根据方程特点进行因式分解.
21、（1）；（2）（，0）或
【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得n的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k的值，可求得双曲线解析式；
（2）设P（x，0），则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于x的方程，解方程可求得P点的坐标．
【详解】解：（1）把A（2，n）代入直线解析式得：n=3，
∴A（2，3），
把A坐标代入y=，得k=6，
则双曲线解析式为y=．
（2）对于直线y=x+2，
令y=0，得到x=-4，即C（-4，0）．
设P（x，0），可得PC=|x+4|．
∵△ACP面积为5，
∴|x+4|•3=5，即|x+4|=2，
解得：x=-或x=-，
则P坐标为或．
22、（1）见解析； (2)结论AD·BC=AP·BP仍成立.理由见解析；（3）t的值为2秒或10秒.
【分析】（1）由∠DPC＝∠A＝∠B＝90°可得∠ADP＝∠BPC，即可证得△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝θ可得∠ADP＝∠BPC，即可证得△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE＝BE＝6，根据勾股定理可得DE＝8，由题意可得DC＝DE＝8，则有BC＝10−8＝2，易证∠DPC＝∠A＝∠B，根据AD·BC=AP·BP，即可求出t的值．
【详解】（1）证明：∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴AD·BC=AP·BP；
(2)结论AD·BC=AP·BP仍成立
理由：∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，且∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP，
∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠ADP，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴AD·BC=AP·BP；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD=10，AB=12，.
∴AE=BE=6，
∴，
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=8，
∴BC=10-8=2，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
又∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由(1)(2)的经验得AD·BC=AP·BP，
又∵AP=t，BP=12-t，
∴，
解得：，，
∴t的值为2秒或10秒.
本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．
23、（1）；（2）
【分析】（1）根据根的判别式，列不等式求出k的取值范围即可．
（2）用公式法解方程即可．
【详解】（1）由一元二次方程有实数根，可以得出≥1，
即(－2)2－4(k+1)≥1，
解得：k≤1．
（2），
x==．
本题主要考查根的判别式以及公式法解一元二次方程的方法，熟记根的判别式以及一元二次方程解得公式是解题关键．
24、（1）-4；（2）见解析；（3）点E的坐标为（﹣4，1）．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标，利用待定系数法求出k；
（2）先求出点D的坐标，求出∠ADB=45°，∠ODC=45°，从而得解；
（3）设出点E的坐标，根据三角形的面积公式解答．
【详解】（1）设点B的坐标为（a，0），
∵∠ABO＝90°，AB＝BO，
∴点A的坐标为（a，﹣a），
∵点A在直线y＝﹣3x﹣4上，
∴﹣a＝﹣3a﹣4，
解得，a＝﹣2，
即点A的坐标为（﹣2，2），
∵点A在反比例函数y＝上，
∴k＝﹣4；
（2）∵点D与点O关于AB对称，
∴点D的坐标为（﹣4，0）
∴OD＝4，
∴DB＝BA＝2，
则∠ADB＝45°，
∵直线y＝﹣3x﹣4交y轴于C点，
∴点C的坐标为（0，﹣4），
∴OD＝OC，
∴∠ODC＝45°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠ODC＝90°，
即△ACD是直角三角形；
（3）设点E的坐标为（m，﹣），
∵S△OCE＝S△OCD，
∴×4×4＝×4×（﹣m），
解得，m＝﹣4，
∴﹣=1，
∴点E的坐标为（﹣4，1）．
本题考查的是反比例函数与几何的综合题，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
25、（1）；（2），售价定为140元∕件，每天获得最大利润为1600元
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b的值即可；
（2）把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论．
【详解】解：解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：
，
解得：，
故y与x的函数关系式为；
（2）∵，
∴W＝
＝
＝，
∴当x＝140时，W最大＝1600，
∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元．
本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于k、b的关系式是解答此题的关键．
26、（1）；（2）当时，线段PC有最大值是2；（3），，
【分析】把x=0，y=0分别代入解析式可求点A，点B坐标，由待定系数法可求解析式；
设点C,可求PC,由二次函数的性质可求解；
设点P的坐标为(x,−x+2)，则点C，分三种情况讨论，由平行四边形的性质可出点P的坐标．
【详解】解：(1)可求得 A（0,2 ），B(4,0 )
∵抛物线经过点A和点B
∴把(0,2),(4,0)分别代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为.
（2）设点P的坐标为(x,−x+2)，则C（）
∵点P在线段AB上
∴
∴当时，线段PC有最大值是2
（3）设点P的坐标为(x,−x+2)，
∵PC⊥x轴，
∴点C的横坐标为x，又点C在抛物线上，
∴点C(x,)
①当点P在第一象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOPC为平行四边形，
则OA=PC=2,即，
化简得：，
解得x1=x2=2把x=2代入
则点P的坐标为(2,1)
②当点P在第二象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，
则OA=PC=2,即，
化简得：，
解得：
把，
则点P的坐标为;
③当点P在第四象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，
则OA=PC=2,即，
化简得：，
解得：
把
则点P的坐标为
综上，使以O、A. P、C为顶点的四边形是平行四边形，
满足的点P的坐标为.
本题是二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式，最值问题，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分类讨论的思想解决问题．
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