高三数学-导数与微分教案同步教案-新人教A版.doc

高三同步辅导材料（第3讲）
一、教学进度
第三章 导数与微分
二、学习指导
通过运动物体在某一时刻的瞬时速度（）、曲线在某一点处的切线的斜率（）、生产的边际成本（）三个实例（ 也导数的三个重要应用，特别地，曲线在某一点处切线的斜率即是导数的几何意义）.抽象出它们共同的、实质性的东西：函数的变化量△y与自变量的变化△x的比值当△x→0时的极限，并定义为函数f(x)在这一点处的导数.并进而定义了导函数（简称导数）
导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用.课本内只介绍了两个求导公式：C/=0，及=（n为正整数）课本已予推导；两个法则：[f(x)±g(x) ]/=(x)±g/(x). [Cf（x）]/=C(x) .请同学们根据定义自行证明一下上述两个法则后再往下看：
[f(x)±g(x) ]/=
=
=±=±
==（C·）
=C=.
有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了.
另外，∵=≈， ∴△y≈·△x.
当△x很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。
导数就是从瞬时速度，切线斜率，边际成本等实际问题中抽象概括出来的，当然要反过来服务指导实际问题的解决，凡是与变化率相关的问题都可从微分和导数理论中受益，本讲主要集中讲授判断证明函数的单调性，函数的极值和最值。
根据函数单调性的定义，函数在其定义域内某从a到b(a＜b)的区间内单调递增，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨记△x= x2－x1＞0). 恒有y1＜y2（记△y= y2－y1＞0）. 于是A（x1，y1），B（x2，y2）两点间连线斜率=＞0.
从而==＞0. 由x1的任意性，知（a，b）内的导函数值均正；反之，若f(x)在该区间单调递减，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨仍记△x= x2－x1＞0). 恒有y1＞y2.记△y= y2－y1＜0.则A、B连线斜率=＜0，从而==＜0. 所以，导函数值为正的区间原函数必是单调递增的，导函数值为负的区间，原函数必是单调递减的。而导函数值为O的点xo有可能（但不一定就是）是原函数增、减区间的接合点，也就是说，f(xo)有可能（但不一定就是）f(x)的一个极大（小）值. 但到底是不是极值点，还须看导函数在xo的左、右是否异号，如在xo左边＞0，而在xo右边＜0，则f(xo)为原函数的一个极大值；如在xo左边＜0，而在xo右边＞0，则f(xo)是原函数的一个极小值；如在xo左右符号相同，则f(xo)不是原函数的极值.
我们原先用定义证明函数在某区间单调，过程相当繁杂（对较复杂的函数更是如此）.而判断单调区间的界限，则无明章可循，现在我们可以使用导数这个利器，过程就显得简单明了多了，今后再遇到类似问题，尽可以使用它。
极值和最值是相互有联系的不同概念，总的来说，极值是局部概念，f(xo)如果比xo附近（无论这个“附近”的范围多小，不含xo）的x的函数值f(x)都大（小）. 则称f(xo)就是f(x)的一个极大（小）值. 且=0，但=0 . f(xo)却不一定就是f(x)的极值. 最值是整体概念，若f(x)的定义域是R或开区间，则最值如果存在必是极值之一（诸极值中最大或最小者）, 当然也有可能不存在 . 若f(x)的定义域是闭区间，则函数的最值是诸极值和边界函数值中之最。从这个意义上讲，最值不一定是极值，极值也不一定是最值，f(xo)最大（小），未必有=0，故求最值，应先求所有极值及边界处的函数值，再从中挑选最值.
三、典型例题讲评
例1．n∈N*求函数y=x—n（x≠0）的导函数
我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。
y/==
=
=－
=－=－.
上述结果的形式与=有何关系？你能否据此猜度是什么（α∈R）？
解：==
=
==－
这与n为正整数时(xn)/= 法则相合，（即以－n代n，即得上式.）
这会使我们猜测α∈R时，=α，这个猜测正确与否还需进一步证明，且证明方法肯定与上面的方程不同（不能再用二项式定理了）.
例2．求过抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。
提示：为求斜率，先求导函数：y/=2ax+b，故切线方程为y－y0=(2ax0+b)(x－x0)即
y=(2ax0+b)x－ax+c，亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.
抛物线焦点：F（－,+）它关于切线的对称点之横坐标当x0，说明从焦点发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。
显然，y0=ax+bx0+c
y/=2ax+b 故在P点处切线斜率为2ax0+b，
切线方程y－(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(x－x0)，
亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.
由于y=ax2+bx+c按向量=（，）平移即得到y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax）的切线l ：y=2ax0x－ax满足：焦点（0，）关于l的对称点为（m，n）.
当x0≠0时，消去n. 知m=x0.
当x0=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，
故从焦点发出的光线射到（x0，ax）后被抛物面反射后的方程为x=x0（与对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.
要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。
例3．求函数y=x4+x－2 图象上的点到直线y=x－4的距离的最小值及相应点的坐标.
首先由得x4+2=0 知，两曲线无交点.
y/=4x3+1要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.
故切点：（0 , －2）. d==.
一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时，
与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的
距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的
直线若与曲线y=f(x)相交，（A为一交点），则l/
与l间必存在y=f(x)上的点C，显然，C点到l
的距离小于l与l/间的距离，亦即A到l的距离.
当然，我的也可用参数直接考虑：设(x0，x+x0－2)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离d= =≥=故距离最小值为.
上述等号当且仅当x0=0时取得故相应点坐标为（0，-2）.
解：y/= 4x3+1，令4x3+1=1，x=0. 由此知过曲线上点（0，－2）的切线方程y=x+2 与已知直线平行，它到已知直线距离最近，为d==.

例4．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离S=gt2其中t为经历的时间，g=9.8m/s2，若V= =g=9.8m/s，则下列说法正确的是（ ）
（A）0～1s时间段内的速率为9.8m/s.
（B）在1～1+△ts时间段内的速率为9.8m/s.
（C）在1s末的速率为9.8m/s
（D）若△t＞0，则9.8m/s是1～1+△ts时段的速率.
若△t＜0，则9.8m/s是1+△ts～1时段的速率.
本例旨在强化对导数意义的理解，无论是从相限的本质，还是从导数的物理意义考虑，都应选（C），但值得指出的是：中的△t可正可负.
例5．定义在（α、β）上的函数f(x)满足f(1)=2，(1)=3. （α＜1＜β）.
（1）求的值;
（2）求的值
本题无具体的函数解析式，但所求两极限的形式很象导数的定义，故项往导数定义的形式上去凑，这就需要设法把x→1转化为△x→0的形式.
==（f(x)+2）
[f(1+△x)+2]= (1)·(f(1)+2)=3·(2+2)
=（x+1）
()=(1)(1+1)=6.
例6．曲线：y=ax3+bx2+cx+d在（0，1）点处的切线为l1：y=x+1 在（3,4）点处的切线为l2：y=－2x+10，求曲线C的方程.
已知两点均在曲线C上. ∴
y/=3ax2+2bx+c (0)=C (3)=27a+6b+c
l1：y=cx+1 l2：y=(27a+6b+c)(x－3)+4
与已知比较，分别求出d=1，c=1，a=－，b=1. C：y=－x3+x2+x+1.
求曲线过一点处的切线，先求斜率——即导函数在x0处的值，再用点斜式写出化简.

例7．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c当 x=－1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，求此极小值及f(x).

与极值有关，当然先研究导函数，=3x2+2ax+b. 3和－1应为其两根
∴，
第三个待定系数应由f(－1)=7求出，得c=2，
∴f(x)=x3－3x2－9x+2，
从而求出极小值f(3)=－25.

解：(x)=3x2+2ax+b (x)=0的两根为3，－1
由韦达定理 ∴.
又7=f(－1)=－1+(－3)+(－9)(－1)+c ∴c=2 .
极小值：f(3)=33+(－3)·32+(－9)·3+2=－25 .
f(x)=－x3－3x2－9x+2 .

例3．记u=xy, 则有x2－2x+4=0.
记u2=f(x)=. ∵－4y2=(x2－2x)＜0 ∴x∈(0,2)
=， 当x=时， =0，且在(0,)上＞0, 在（，2）上＜0，∴f(x)在x=时取极大值. 相应地y==
∴当x=时，有最大值 .

例8．要制造一个容积为50cm3的圆柱形锅炉，怎样的尺寸最省料（即表面积最小）？
提示 ：若记底面半径为cm，高为h cm，则r2h=50.
表面积 *
要求最值，先求导函数：. 知时，=0. 且＜时，
＜0. ＞时, ＞0. 故当时S有极小值
+=(cm2) .
当然，如果不等式学得好，我们也可把*式改写为≥
. 等号当且仅当==. 即r =cm时.
解：记底面半径为rcm，高为hcm，由已知，==50.
∴表面积S=
=，令=0 ， 得r=. 且在为负，而当为r＞为正.
故当r =时，S有最小值30（cm2）
例9．已知x、y∈R+. x2－2x+4y2=0. 求xy的最大值.
初看不知怎样下手.
记u=xy, 则有x2－2x+4=0. 即u2=f(x)=－
它的定义域可用4y2=2x－x2＞0求得，为(0，2).
要使正数u取得最大值，须u2取得最大值.
=. 当=0时，x=0(舍去)或，且当x∈（0，）时，＞0. 时，＜0. 故f(x)在x=时取得极大值. 它也是f(x)的最大值.
由上可知，当x=时，（此时y=），u=xy取得最大值.
本题若直接写为u=或用三角换元，囿于目前教材的内容，我们就无法求导了.
例10．已知f(x)=x2+1. g(x)=f［f(x)］. (x)=g(x)+f(x). 问是否存在实数，使(x)在（－∞，－］上单调递减而在［，0］上单调递增？
复合函数求单调区间在以前是很棘手的问题，现在我们尝试用导数法解决这类问题
(x)=f［f(x)］+f(x)=(x2+1)2+1+(x2+1)
=x4+(2+)x2+2+
(x)=4x3+2(2+)x.
令(x)＞0. 当≥－2时, 为x＞0. 与已知不合.
当＜－2时, x∈(－, 0)∪(, +∞), 此时(x)在(－∞, －］, ［0, ］单调递减, 而在［－, 0］及［, +∞］单调递增.
由已知, －=－, 知=－3.
解：(x)=f［f(x)］+f(x)=x4+(2+)x2+2+
(x)=4x3+2(2+)x
令(x)＞0，此时如≥－2解为x＞0, 原函数(x)在－∞，0］单调减［0，+∞］单调增，与已知条件矛盾，故知＜－2，此时(x)＞0的解集为(－，0)∪(，+∞) 故(x)在－∞，－＝及［0，］单调递减，而在［－，0］及［，+∞单调递增与已知要求比较，知－=－
=－3.

x≤1

x＞1
例11．已知函数f(x)= 判断f(x)在x=1
处是否可导.
提示：按照定义，可导存在与均存在且相等.
今知=. 而
=.故
不存在. f(x)在x=1处不可导. 在本题中，f(x)= f(x)=f(1)=1. 说明f(x)在x=1处连续. 但不能说明它在x=1处可导，这两者是必须分清楚的，连续是可导的必要条件.
解：若f(x)在x=1处可导，则=应存在，但由f(x)解析式知，上述极限不存在（==，而=，不相等）
∴f(x)在x=1处不可导.

巩固练习A
1．选择题
（1）曲线y=x3在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（ ）
（A）（－2，－8） （B）（－1，－1）或（1，1）
（C）（2，8） （D）（－，－）
（2）一质点在运动中经过的路程S和经历的时间t有关系S=5－3t2，则它在[1,+△t]内的平均速度为（ ）
（A）3△t+6 （B）－3△t+6 （C）3△t－6 （D）－3△t－6
（3）曲线y=x3－x2+5，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）过曲线y=x2上一点作切线与直线3x－y+1=0交成450角，则切点坐标为（ ）
（A）（－1，1） （B） （，）或（1，1）
（C）（，）或（－1，1） （D）（－1，1）或（1，1）
2. 求过点P（2，2）且与曲线y=x2相切的直线方程.
3. 已知函数f(x)=x2(x－1)，若=x0，求x0的值.
4.路灯距地面8m，一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走，则人影长度变化速率是多少？（要求以m/s为单位）
5.已知直线y=3x+1是曲线y=x3－2x+a的一条切线，求a的值.
6.已知f(x)=(x－a)(x－b)，g(x)=cx+d.（ a、b、c、d为常数），G(x)=f(x)g(x). 求证：G/x=f/xg(x)+f(x)g/(x)
7.当f(x)，g(x)为其它可导函数时，上题结论能否成立？能成立，请用定义证明，不能成立，试举一反例说明.
8.设曲线S：y=x3－6x2－x+6，S在哪一点处的切线斜率最小？设此点为P（x0，y0）求证：曲线S关于P点中心对称.
9.已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x)，且f/x=g/(x)，f(5)=30，求g(4).
10..曲线y=x(x+1)(2－x)上有一点P，它的坐标均为整数，且过P点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.
11.已知函数y=x3+ax2+bx+c的图像过点P（1,2）.过P点的切线与图象仅P点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求f(x)的解析式.
12．已知f(x)是R上的可导函数.
（1）f(－x)在x=a处的导数值与f(x)在x=－a处的导数值有什么关系？
（2）若f(x)为偶函数，的奇偶性如何？

参考答案
1．（1）y/=3x2，令3x2=3，知k=±1，故选（B）
（2）==－6+3△t. 选（C）
（3）y/=x2－2x. 当x=1时，y/=－1 选（D）
（4）=tan450 知k=－2或， 令y/=2x=k，知x=－1或.选（C）
2．y/=2x，过其上一点（x0，x）的切线方程为
y－x=2x0(x－x0)，过P（2，2），故2－x=2x0（2－x0）
x0=2±. 故切线方程为y=(4±)x－(6±).
3．f(x)=x3－x2，=3x2－2x，
令3x－2x0=x0知x0=0或1.
4．==5.
∴OM= 4BM
同理ON=4CN
两式相减，知，影长变化BM－CN= (OM－ON)
=MN=·△t·84m/min
∴V==21m/min=m/s.
5．y/=3x2－2. 令3x2－2=3 x=±.代入切线方程知y0=1±，
∴a=y0+2x0－x=1±.
6．f(x)=x2－(a+b)x+ab =2x－(a+b).
=c
∴g(x)+f(x) =[2x－(a+b)](cx+d)+c(x2－(a+b)x+ab)=3cx2+2(d－ac－bc)x+abc－ad－bd.
又G(x)=[x2－(a+b)x+ab](d+cx)
=cx3+(d－ac－bc)x2+(abc－ab－bd)x+abd.
∴G/(x)=3cx2+2(d－ac－bc)x+abc－ad－bd
∴G/(x)= g(x)+f(x) .
7．结论[f(x)g(x)]/=f/(x)g(x)+f(x)g/(x)仍成立，证明如下：
[f(x)g(x)]/=
=
=[g(x+△x)]+[f(x)]
=g(x)+f(x)
8．y/=3x2－12x－1当x=2时有最小值.故P：（2, －12）.
S在（2，－12）处的切线斜率最小，为－13.
又y=(x－2+2)3－6(x－2+2)2－(x－2+2)+6
=(x－2)3－13(x－2) －12
故曲线C的图象按向量=(－2，+12)平移后方程为y/=x－13x/为奇数，关于原点对称，故P（2，－12）为曲线S的对称中心.
9．由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d)
①
②
∴
=2x+a =2x+c ∴a=c ③
又知52+5a+b=30 ∴5a+b=5 ④
由①③知a=c=2. 依次代入④、②知b=－5，
d=－ g(4)=42+2×4－=23
10．y=－x3+x2+2x y/=－3x2+2x+2
令y/＞0 知x∈(，)
又x∈z ∴x=0或1 ∴P点坐标为（0，0）或（1，2）.
切线斜率k=2或1，
切线方程为y=2x或y=x+1.
11．y/=3x2+2ax+b =3+2a+b
过P点切线方程y－2=(3+2a+b)(x－1) 与y=x3+ax2+bx+c
联立，并注意到曲线过点P（1，2）知a+b+c=1
x3+ax2－(3+2a)x+2+a=0 即(x－1)(x2+(a+1)x－2－a)=0
令(a+1)2+4(2+a)=(a+3)2≤0 知a=－3.
b－=2，b=5， c=1－5+3=－1.
∴f(x)=x3－3x2+5x－1.
12．互为相反数.
f(－x)在x=－a处的导数值为
==－=－.
(2) 是奇函数,这是因为
= ∵f(x)为偶函数,故可进而写为
==－=－.

巩固练习B
1．已知在函数y=x3+ax2－a中，=0 且f(xo)=0, 则a的值为____________
2．已知函数f(x)满足：f(3)=2, (3)=－2, 则极限的值为___________
3．已知函数f(x)=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，求a、b的值，并求出f(x)的单调区间.
4．过点P（2，2）作曲线S：y=3x－x3的切线，可作几条？
5．已知曲线C1：y=3x4+a与曲线C2：Y=4x3有交点，且两曲线在交点处有相同的切线，求a的值.
6．讨论函数y=的单调性.
7．直角三角形铁皮ABC的斜边长AB=2, ∠A=30O，
现欲从角上剪去三块（图中阴影部分），用其余部分做成
一个无盖的直三棱柱形铁盒，怎样下料可使铁盒容积最大？

8．如图，一个圆锥形容器底面半径为rcm，
高为hcm. 现以ncm3/s的速率往容器内注水，
求ts末水面上升的速率.

9．设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d 在x=1及x=－1处有极值，且f(1)=－2a, 求证f(x)是奇函数.
10．x＞1, 求证：2x＞3－.
11．某物体一天中温度T（OC）是时间t(小时)的函数：T(t)=at3+bt2+ct+d. (a≠0) 当t=0时，表示正午12点的温度T（O），12点以后的时间为正，12点以前的时间为负。现测得该物体在上午8时的温度为8OC，12时的温度为60OC，13时的温度为58OC，且上午8时和下午16时的温度变比率相同.
(1)写出T（t）的函数解析式；
(2)求10~12时（包含10时和12时）的最高温度
12．一种塑料包装罐如右图所示，下部为一个圆柱形，
上部为一个半球形，球的半径与圆柱底面半径相同，
由于机器每次注塑量已定（即已确定罐体表面积.
怎样的尺寸能使其容积最大？

参考答案
1．=3x2+2ax 当x=0或－a时值为0
若xO=0，则－a=0, a =0
若xO=－a, 则（－a）3+a（－a）2－a=0, a=0或3
∴a=0或3.
2．记x=3+△x，则

=
=
=－3(3)+2=8.
3．=3x2－6ax+2b 由已知
解得
此时=3x2－2x－1 令＞0. 得x＞1或＜－.
∴f(x)在(－∞，－］及［1，+∞）单调增，在［－，1］单调递减.
4．=3－3x2 过曲线上一点(xO，3xO－xO3)的切线方程为y=(3－3xO2)(x－xO)+ 3xO－xO3.
切线应过P（2，2）点，故有2=(3－3xO2)(2－xO)+ 3xO－xO3. 即xO3－3xO2+2=0
有三个根1, 1±. 故应有3条切线.
5．C1=12x3 C2=12x2 设公共点横坐标为xO则应有12xO3=12xO2. xO=0或1. 曲线C2上对应的点为(0，0)或（1，4） 亦应在曲线C1上， 故a=0或+1.
6．f(x)=与函数g(x)=(2x－3)(3－x)2有相同的单调性， (x)=－15x2+36x－=6(x2－5x+6) 令(x)＞0得x＞3或x＜2.
∴f(x)在(－∞，及［3，+∞单调递增，在［2，3］单调递减.
7．BC=1, AC=. 盒底三角形两直角边长分别为
x∈(0，)
1－x－xcot30O=1－(+1)x
－x－xcot15O=－(3+)x
V==
=.
令=0， 得x=(舍去)或.
在（0，）. ＞0. 在(，). ＜0. 故当x=时V取得极大值，又x→0或x→时，V→0
∴当x=时，V最大.
8．t秒注水量V=nt=(x为水面高度). 即x=. 对t求导.
== 即为所求.
9． (x)=3ax2+2bx+c. (x)=0的两个根为±1. 故b=0, c=－3a. 从而f(x)=ax3－3ax+d
又由已知 －2a=a－3a+d. ∴d=0 .
∴f(x)=ax3－3ax 为奇函数 .
10．即证2x3－3x2+1＞0 .
作函数f(x)=2x3－3x2+1 . (x)=6x2－6x .
当x=1时，(x)=0 . 且x∈(0，1)时 (x)＜0，当x＞1时，(x)＞0. ∴f(1)为极小值，且在［1，+∞上单调递增. ∴f(1)=2－3+1=0. ∴当x＞1时, f(x)＞0 即2x＞3－(x＞1).
11．(1)(x)=3at2+2by+c. t=－4与t=4时值相同，
故t=0为其对称轴，b=0 .
又由已知
算得d=60. a=1. c=－3 .
∴T(t)=x3－3x+60 .
(2)此时 当t=±1时值为0, 且在［－2，－1)及（1，2］值为正，在（－1，1）值为负，知T(t)在t=－1时取极大值62，（t=1时取极小值）
故11时温度最高为62OC.
12．设圆柱的底半径为r，高为h，则表面积
S=

故V=
=
= 当时=0 且在（0，）时＞0. 而r＞时，＜0， 故当r=时V有极大值，也是最大值，为.