高等数学教案3-7.DOC

§3．2 洛必达法则
§3. 9 曲 率
一、弧微分
设函数f(x)在区间(a, b)内具有连续导数. 在曲线y=f(x)上取固定点M 0(x 0, y 0)作为度量弧长的基点, 并规定依x增大的方向作为曲线的正向. 对曲线上任一点M(x, y), 规定有向弧段的值s（简称为弧s）如下: s的绝对值等于这弧段的长度, 当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s>0, 相反时s<0. 显然, 弧s=是x的函数: s=s(x), 而且s(x)是x的单调增加函数. 下面来求s(x)的导数及微分.
设x , Dx 为(a, b)内两个邻近的点, 它们在曲线y=f(x)上的对应点为M, N, 并设对应于x的增量Dx , 弧s的增量为Ds, 于是

,
,
因为==1, 又=y¢,
因此
=±.
由于s=s(x)是单调增加函数, 从而>0, =. 于是ds=dx. 这就是弧微分公式.

因为当Dx®0时, Ds~, Dx又Ds与同号, 所以
.
因此
,
这就是弧微分公式.

二、曲率及其计算公式
曲线弯曲程度的直观描述:
设曲线C是光滑的, 在曲线C上选定一点M 0作为度量弧s 的基点. 设曲线上点M 对应于弧s, 在点M处切线的倾角为a , 曲线上另外一点N对应于弧s+Ds , 在点N处切线的倾角为a+Da .
我们用比值, 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.
记, 称为弧段MN的平均曲率.
记, 称K为曲线C在点M处的曲率.
在=存在的条件下, .
曲率的计算公式:
设曲线的直角坐标方程是y=f(x), 且f(x)具有二阶导数（这时f ¢(x)连续, 从而曲线是光滑的）. 因为tan a=y¢ , 所以
sec 2a da=y¢¢dx,
.
又知ds=dx, 从而得曲率的计算公式
.
例1. 计算直线y=a x+b上任一点的曲率.
例2. 计算半径为R的圆上任一点的曲率.
讨论:
1. 计算直线y=a x+b上任一点的曲率.
提示: 设直线方程为y=ax+b, 则y¢=a, y¢¢= 0. 于是K=0.

2. 若曲线的参数方程为x=j(t), y=y(t)给, 那么曲率如何计算？
提示: .
3. 计算半径为R的圆上任一点的曲率.
提示: 圆的参数方程为x=R cos t, y=R sin t .
例1. 计算等双曲线x y =1在点(1, 1)处的曲率.
解: 由, 得
, .
因此 y¢|x=1=-1, y¢¢|x=1=2.
曲线xy =1在点(1, 1)处的曲率为
.
例4 抛物线y=a x 2+b x+c 上哪一点处的曲率最大？
解: 由y=a x 2+b x+c, 得
y¢=2a x +b , y¢¢=2a ,
代入曲率公式, 得
.
显然, 当2ax+b=0时曲率最大.
曲率最大时, x=-, 对应的点为抛物线的顶点. 因此, 抛物线在顶点处的曲率最大, 最大曲率为K=|2a| .
三、曲率圆与曲率半径
设曲线在点M(x, y)处的曲率为K (K¹0) . 在点M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点D, 使|DM| =K-1=r. 以D 为圆心, r为半径作圆, 这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆, 曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心, 曲率圆的半径 r 叫做曲线在点M处的曲率半径.
设曲线在点M处的曲率为K(K¹0), 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为r=K-1的圆, 则这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆, 其圆心叫做曲率中心, 其半径r 叫做曲率半径.
曲线在点M处的曲率K(K ¹0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系:
r =, K =.
例3 设工件表面的截线为抛物线y=0.4x 2. 现在要用砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径.
y¢=0.8x , y¢¢=0.8,
y¢|x=0=0, y¢¢|x=0=0.8.
把它们代入曲率公式, 得
=0.8.
抛物线顶点处的曲率半径为
r=K-1
= 1.25.
所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长, 即直径不得超过2.50单位长.

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