高等数学教案7-5.DOC

§7．2 向量及其加减法 向量与数的乘法
§7. 5 平面及其方程
一、平面的点法式方程
法线向量: 如果一非零向量垂直于一平面, 这向量就叫做该平面的法线向量. 容易知道, 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.
唯一确定平面的条件: 当平面P上一点M0 (x0, y0, z0)和它的一个法线向量n=(A, B, C)为已知时, 平面P的位置就完全确定了.
平面方程的建立: 设M (x, y, z)是平面P上的任一点. 那么向量必与平面P的法线向量n垂直, 即它们的数量积等于零:
.
由于
n =(A, B, C), ,
所以
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
这就是平面P上任一点M的坐标x, y, z所满足的方程.
反过来, 如果M (x, y, z)不在平面P上, 那么向量与法线向量n不垂直, 从而
. , 即不在平面P上的点M的坐标x, y, z不满足此方程.
由此可知, 方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0就是平面P的方程. 而平面P就是平面方程的图形. 由于方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0是由平面P上的一点M0(x0, y0, z0)及它的一个法线向量n =(A, B, C)确定的, 所以此方程叫做平面的点法式方程.
例1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程.
解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为
(x-2)-2(y+3)+3z=0,
即 x-2y+3z-8=0.
例2 求过三点M1(2, -1, 4)、M2(-1, 3, -2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程.
解 我们可以用作为平面的法线向量n.
因为, ,
所以
.
根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为
14(x-2)+9(y+1)-(z -4)=0,
即 14x+9y- z-15=0.
二、平面的一般方程
由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 .
反过来, 设有三元一次方程
Ax+By+Cz+D=0.
我们任取满足该方程的一组数x0, y0, z0, 即
Ax0+By0+Cz0 +D=0.
把上述两等式相减, 得
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,
这正是通过点M0(x0, y0, z0)且以n=(A, B, C)为法线向量的平面方程. 由于方程
Ax+By+Cz+D=0.
与方程
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
同解, 所以任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面. 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其中x, y, z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标, 即
n=(A, B, C).
例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一个平面, n=(3, -4, 1)是这平面的一个法线向量.
讨论: 考察下列特殊的平面方程, 指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系, 平面通过的特殊点或线.
Ax+By+Cz=0;
By+Cz+D=0, Ax+Cz+D=0, Ax+By+D=0;
Cz+D=0, Ax+D=0, By+D=0.
提示:
D=0, 平面过原点.
n=(0, B, C), 法线向量垂直于x轴, 平面平行于x轴.
n=(A, 0, C), 法线向量垂直于y轴, 平面平行于y轴.
n=(A, B, 0), 法线向量垂直于z轴, 平面平行于z轴.
n=(0, 0, C), 法线向量垂直于x轴和y轴, 平面平行于xOy平面.
n=(A, 0, 0), 法线向量垂直于y轴和z轴, 平面平行于yOz平面.
n=(0, B, 0), 法线向量垂直于x轴和z轴, 平面平行于zOx平面.
例3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.
解 平面通过x轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x轴, 即A=0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D=0. 因此可设这平面的方程为
By+Cz=0.
又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有
-3B-C=0,
或 C=-3B .
将其代入所设方程并除以B (B¹0), 便得所求的平面方程为
y-3z=0.
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点, 求这平面的方程(其中a¹0, b¹0, c¹0).
解 设所求平面的方程为
Ax+By+Cz+D=0.
因为点P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)都在这平面上, 所以点P、Q、R的坐标都满足所设方程, 即有

由此得 , , .
将其代入所设方程, 得
,
即 .
上述方程叫做平面的截距式方程, 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距.
三、两平面的夹角
两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.
设平面P1和P2的法线向量分别为n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2), 那么平面P1和P2的夹角q 应是和两者中的锐角, 因此, . 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 平面P1和P2的夹角q 可由
.
来确定.
从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论:
平面P1和P2垂直相当于A1 A2 +B1B2 +C1C2=0;
平面P 1和P 2平行或重合相当于.
例5 求两平面 x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角.
解 n1=(A1, B1, C1)=(1, -1, 2), n2=(A2, B2, C2)=(2, 1, 1),
,
所以, 所求夹角为.
例6 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, -1)且垂直于平面x+y+z=0, 求它的方程.
解 方法一: 已知从点M1到点M2的向量为n1=(-1, 0, -2), 平面x+y+z=0的法线向量为n2= (1, 1, 1).
设所求平面的法线向量为n=(A, B, C).
因为点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, -1)在所求平面上, 所以n^n1, 即-A-2C=0, A=-2C.
又因为所求平面垂直于平面x+y+z=0, 所以n^n1, 即A+B+C=0, B=C.
于是由点法式方程, 所求平面为
-2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0, 即2x-y-z=0.
方法二: 从点M1到点M2的向量为n1=(-1, 0, -2), 平面x+y+z=0的法线向量为n2= (1, 1, 1).
设所求平面的法线向量n 可取为n1´ n2.
因为
,
所以所求平面方程为
2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0,
即 2x-y-z=0.
例7 设P0(x0, y0, z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点, 求P0到这平面的距离.
解 设en是平面上的单位法线向量. 在平面上任取一点P1(x1, y1, z1), 则P0到这平面的距离为

.
提示: , ,
例8 求点(2, 1, 1)到平面 x+y-z+1=0的距离.
解 .

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