高等数学教案7-5.DOC

72 向量及其加减法 向量与数的乘法 7. 5 平面及其方程 一、平面的点法式方程 法线向量: 如果一非零向量垂直于一平面, 这向量就叫做该平面的法线向量. 容易知道, 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 唯一确定平面的条件: 当平面P上一点M0 (x0, y0, z0)和它的一个法线向量n=(A, B, C)为已知时, 平面P的位置就完全确定了. 平面方程的建立: 设M (x, y, z)是平面P上的任一点. 那么向量必与平面P的法线向量n垂直, 即它们的数量积等于零: . 由于 n =(A, B, C), , 所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. 这就是平面P上任一点M的坐标x, y, z所满足的方程. 反过来, 如果M (x, y, z)不在平面P上, 那么向量与法线向量n不垂直, 从而. , 即不在平面P上的点M的坐标x, y, z不满足此方程. 由此可知, 方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0就是平面P的方程. 而平面P就是平面方程的图形. 由于方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0是由平面P上的一点M0(x0, y0, z0)及它的一个法线向量n =(A, B, C)确定的, 所以此方程叫做平面的点法式方程. 例1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0. 例2 求过三点M1(2, -1, 4)、M2(-1, 3, -2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程. 解 我们可以用作为平面的法线向量n. 因为, , 所以 . 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 14(x-2)+9(y+1)-(z -4)=0, 即 14x+9y- z-15=0. 二、平面的一般方程 由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 . 反过来, 设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0. 我们任取满足该方程的一组数x0, y0, z0, 即 Ax0+By0+Cz0 +D=0. 把上述两等式相减, 得 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, 这正是通过点M0(x0, y0, z0)且以n=(A, B, C)为法线向量的平面方程. 由于方程 Ax+By+Cz+D=0. 与方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0同解, 所以任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面. 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其中x, y, z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标, 即 n=(A, B, C). 例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一个平面, n=(3, -4, 1)是这平面的一个法线向量. 讨论: 考察下列特殊的平面方程, 指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系, 平面通过的特殊点或线. Ax+By+Cz=0; By+Cz+D=0, Ax+Cz+D=0, Ax+By+D=0; Cz+D=0, Ax+D=0, By+D=0. 提示: D=0, 平面过原点. n=(0, B, C), 法线向量垂直于x轴, 平面平行于x轴. n=(A, 0, C), 法线向量垂直于y轴, 平面平行于y轴.n=(A, B, 0), 法线向量垂直于z轴, 平面平行于z轴.n=(0, 0, C), 法线向量垂直于x轴和y轴, 平面平行于xOy平面.n=(A, 0, 0), 法线向量垂直于y轴和z轴, 平面平行于yOz平面.n=(0, B, 0), 法线向量垂直于x轴和z轴, 平面平行于zOx平面. 例3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x轴, 即A=0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D=0. 因此可设这平面的方程为 By+Cz=0. 又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B-C=0, 或 C=-3B . 将其代入所设方程并除以B (B0), 便得所求的平面方程为 y-3z=0. 例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点, 求这平面的方程(其中a0, b0, c0). 解 设所求平面的方程为 Ax+By+Cz+D=0. 因为点P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)都在这平面上, 所以点P、Q、R的坐标都满足所设方程, 即有 由此得 , , . 将其代入所设方程, 得 , 即 . 上述方程叫做平面的截距式方程, 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距. 三、两平面的夹角 两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角. 设平面P1和P2的法线向量分别为n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2), 那么平面P1和P2的夹角q 应是和两者中的锐角, 因此, . 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 平面P1和P2的夹角q 可由 .来确定. 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论: 平面P1和P2垂直相当于A1 A2 +B1B2 +C1C2=0; 平面P 1和P 2平行或重合相当于. 例5 求两平面 x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角. 解 n1=(A1, B1, C1)=(1, -1, 2), n2=(A2, B2, C2)=(2, 1, 1), , 所以, 所求夹角为. 例6 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, -1)且垂直于平面x+y+z=0, 求它的方程. 解 方法一: 已知从点M1到点M2的向量为n1=(-1, 0, -2), 平面x+y+z=0的法线向量为n2= (1, 1, 1). 设所求平面的法线向量为n=(A, B, C). 因为点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, -1)在所求平面上, 所以nn1, 即-A-2C=0, A=-2C. 又因为所求平面垂直于平面x+y+z=0, 所以nn1, 即A+B+C=0, B=C. 于是由点法式方程, 所求平面为 -2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0, 即2x-y-z=0. 方法二: 从点M1到点M2的向量为n1=(-1, 0, -2), 平面x+y+z=0的法线向量为n2= (1, 1, 1).设所求平面的法线向量n 可取为n1 n2. 因为 , 所以所求平面方程为 2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0, 即 2x-y-z=0. 例7 设P0(x0, y0, z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点, 求P0到这平面的距离. 解 设en是平面上的单位法线向量. 在平面上任取一点P1(x1, y1, z1), 则P0到这平面的距离为 .提示: , , 例8 求点(2, 1, 1)到平面 x+y-z+1=0的距离. 解 . 5