高等数学教案7-6.DOC

§7．2 向量及其加减法 向量与数的乘法
§7. 6 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
空间直线L可以看作是两个平面P1和P2的交线.
如果两个相交平面P1和P2的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程, 即应满足方程组
. (1)
反过来, 如果点M不在直线L上, 那么它不可能同时在平面P1和P2上, 所以它的坐标不满足方程组(1). 因此, 直线L可以用方程组(1)来表示. 方程组(1)叫做空间直线的一般方程.

设直线L是平面P1与平面P2的交线, 平面的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么点M在直线L上当且仅当它同时在这两个平面上, 当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程, 即满足方程组
.
因此, 直线L可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间直线的一般方程.

通过空间一直线L的平面有无限多个, 只要在这无限多个平面中任意选取两个, 把它们的方程联立起来, 所得的方程组就表示空间直线L.
二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.
确定直线的条件: 当直线L上一点M 0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s = (m, n, p)为已知时, 直线L的位置就完全确定了.
直线方程的确定: 已知直线L通过点M0(x0, y0, x0), 且直线的方向向量为s = (m, n, p), 求直线L的方程.
设M (x, y, z)在直线L上的任一点, 那么
(x-x0, y-y0, z-z0)//s ,
从而有
.
这就是直线L的方程, 叫做直线的对称式方程或点向式方程.
注: 当m, n, p中有一个为零, 例如m=0, 而n, p¹0时, 这方程组应理解为
;
当m, n, p中有两个为零, 例如m=n=0, 而p¹0时, 这方程组应理解为
.
直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数, 而向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦.
由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程.
设, 得方程组
.
此方程组就是直线的参数方程.
例1 用对称式方程及参数方程表示直线.
解 先求直线上的一点. 取x=1, 有
.
解此方程组, 得y=-2, z=0, 即(1, -2, 0)就是直线上的一点.
再求这直线的方向向量s. 以平面x+y+z=-1和2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为直线的方向向量s :
s=(i+j+k)´(2i-j+3k)4i-j-3k.
因此, 所给直线的对称式方程为
.
令, 得所给直线的参数方程为
.
提示: 当x=1时, 有, 此方程组的解为y=-2, z=0.
.
令, 有x=1+4t, y=-2-t, z=-3t .
三、两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角.

设直线L1和L2的方向向量分别为s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夹角j就是和两者中的锐角, 因此. 根据两向量的夹角的余弦公式, 直线L1和L2的夹角j可由

来确定.
从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论:
设有两直线L1:, L2:, 则
L 1^L 2Ûm1m2+n1n2+p1p2=0;
L1 // L2Û.
例2 求直线L1:和L2:的夹角.
解 两直线的方向向量分别为s1 = (1, -4, 1)和s2 = (2, -2, -1). 设两直线的夹角为j , 则
,
所以.
四、直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定直线与平面的夹角为.
设直线的方向向量s=(m, n, p), 平面的法线向量为n=(A, B, C), 直线与平面的夹角为j , 那么, 因此. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 有
.

因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行, 所以, 直线与平面垂直相当于
.
因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直, 所以, 直线与平面平行或直线在平面上相当于
Am+Bn+Cp=0.
设直线L的方向向量为(m, n, p), 平面P的法线向量为(A, B, C) , 则
L^P Û;
L/ / P Û Am+Bn+Cp=0.
例3 求过点(1, -2, 4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程.
解 平面的法线向量(2, -3, 1)可以作为所求直线的方向向量. 由此可得所求直线的方程为
.
五、杂例
例4 求与两平面 x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点(-3, 2, 5)的直线的方程.
解 平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s ,
因为 ,
所以所求直线的方程为
.
例5 求直线与平面2x+y+z-6=0的交点.
解 所给直线的参数方程为
x=2+t, y=3+t, z=4+2t,
代入平面方程中, 得
2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.
解上列方程, 得t=-1. 将t=-1代入直线的参数方程, 得所求交点的坐标为
x=1, y=2, z=2.
例6 求过点(2, 1, 3)且与直线垂直相交的直线的方程.
解 过点(2, 1, 3)与直线垂直的平面为
3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0, 即3x+2y-z=5.
直线与平面3x+2y-z=5的交点坐标为.
以点(2, 1, 3)为起点, 以点为终点的向量为
.
所求直线的方程为
.
例6¢ 求过点(2, 1, 2)且与直线垂直相交的直线的方程.
解 过已知点与已知直线相垂直的平面的方程为
(x-2)+(y-1)+2(z-2)=0, 即x+y+2z=7.
此平面与已知直线的交点为(1, 2, 2).
所求直线的方向向量为
s=(1, 2, 2)-(2, 1, 2)=(-1, 1, 0),
所求直线的方程为
, 即.
提示: 求平面x+y+2z=7与直线的交点:
直线的参数方程为x=2+t, y=3+t, z=4+2t , 代入平面方程得
(2+t)+(3+t)+2(4+2t)=7,
解得t=-1, 代入直线的参数方程得x=1, y=2, z=2.
平面束: 设直线L的一般方程为
,
其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例. 考虑三元一次方程:
A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,
即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,
其中l为任意常数. 因为系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例, 所以对于任何一个l值, 上述方程的系数不全为零, 从而它表示一个平面. 对于不同的l值, 所对应的平面也不同, 而且这些平面都通过直线L , 也就是说, 这个方程表示通过直线L的一族平面. 另一方面, 任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中.
通过定直线的所有平面的全体称为平面束.
方程A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0就是通过直线L 的平面束方程.
例7 求直线在平面x+y+z=0上的投影直线的方程.
解 设过直线的平面束的方程为
(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,
即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0,
其中l为待定的常数. 这平面与平面 x + y + z = 0垂直的条件是
(1+l)×1+(1-l)×1+(-1+l)×1=0,
即 l=-1.
将l=-1代入平面束方程得投影平面的方程为2y-2z-2=0,
即 y-z-1=0.
所以投影直线的方程为
.

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