高等数学教案5-4.DOC

§5．1 定积分概念
§5. 7 反常积分
一、无穷限的反常积分
定义1 设函数f(x)在区间[a, +¥)上连续, 取b>a . 如果极限

存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a, +¥)上的反常积分, 记作, 即
.
这时也称反常积分收敛.
如果上述极限不存在, 函数f(x)在无穷区间[a, +¥)上的反常积分就没有意义, 此时称反常积分发散.

类似地, 设函数f(x)在区间(-¥, b ]上连续, 如果极限
(a<b)
存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间(-¥, b ]上的反常积分, 记作, 即
.
这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 则称反常积分发散.
设函数f(x)在区间(-¥, +¥)上连续, 如果反常积分
和
都收敛, 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间(-¥, +¥)上的反常积分, 记作, 即

.
这时也称反常积分收敛.
如果上式右端有一个反常积分发散, 则称反常积分发散.
定义1¢ 连续函数f(x)在区间[a, +¥)上的反常积分定义为
.
在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散.
类似地, 连续函数f(x)在区间(-¥, b]上和在区间(-¥, +¥)上的反常积分定义为
.
.
反常积分的计算: 如果F(x)是f(x)的原函数, 则

.
可采用如下简记形式:
.
类似地 ,
.
例1 计算反常积分.
解

.
例2 计算反常积分 (p是常数, 且p>0).
解

.
提示: .
例3 讨论反常积分(a>0)的敛散性.
解 当p=1时, .
当p<1时, .
当p>1时, .
因此, 当p>1时, 此反常积分收敛, 其值为; 当p£1时, 此反常积分发散.
二、无界函数的反常积分
定义2 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 而在点a的右邻域内无界. 取e>0, 如果极限

存在, 则称此极限为函数f(x)在(a, b]上的反常积分, 仍然记作, 即
.
这时也称反常积分收敛.
如果上述极限不存在, 就称反常积分发散.
类似地, 设函数f(x)在区间[a, b)上连续, 而在点b 的左邻域内无界. 取e>0, 如果极限

存在, 则称此极限为函数f(x)在[a, b)上的反常积分, 仍然记作, 即
.
这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分发散.
设函数f(x)在区间[a, b]上除点c(a<c<b)外连续, 而在点c的邻域内无界. 如果两个反常积分
与
都收敛, 则定义
.
否则, 就称反常积分发散.

瑕点: 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界, 那么点a称为函数f(x)的瑕点, 也称为无界
定义2¢ 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点. 函数f(x)在(a, b]上的反常积分定义为
.
在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散.
类似地,函数f(x)在[a, b)(b为瑕点)上的反常积分定义为
.
函数f(x)在[a, c)È(c, b] (c为瑕点)上的反常积分定义为
.
反常积分的计算:
如果F(x)为f(x)的原函数, 则有

.
可采用如下简记形式:
.
类似地, 有
,
当a为瑕点时,;
当b为瑕点时,.
当c (a<c<b )为瑕点时,
.
例4 计算反常积分.
解 因为, 所以点a为被积函数的瑕点.
.

例5 讨论反常积分的收敛性.
解 函数在区间[-1, 1]上除x=0外连续, 且.
由于,
即反常积分发散, 所以反常积分发散.
例6 讨论反常积分的敛散性.
解 当q=1时, .
当q>1时, .
当q<1时, .
因此, 当q<1时, 此反常积分收敛, 其值为; 当q³1时, 此反常积分发散.

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