高等数学教案7-2.DOC

§7．2 向量及其加减法 向量与数的乘法
§7. 2 数量积 向量积
一、两向量的数量积
数量积的物理背景: 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s表示位移. 由物理学知道, 力F所作的功为
W = |F| |s| cosq ,
其中q 为F与s的夹角.
数量积: 对于两个向量a和b, 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角q 的
余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作a×b, 即
a·b=|a| |b| cosq .
数量积与投影:
由于|b| cosq =|b|cos(a,^ b), 当a¹0时, |b| cos(a,^ b) 是向量
b在向量a的方向上的投影, 于是a·b = |a| Prj ab.
同理, 当b¹0时, a·b = |b| Prj ba.
数量积的性质:
(1) a·a = |a| 2.
(2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 a·b =0, 则 a^b;
反之, 如果a^b, 则a·b =0.
如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a^b Û a·b =0.
数量积的运算律:
(1)交换律: a·b = b·a;
(2)分配律: (a+b)×c=a×c+b×c .
(3) (la)·b = a·(lb) = l(a·b),
(la)·(mb) = lm(a·b), l、m为数.
(2)的证明:
分配律(a+b)×c=a×c+b×c的证明:
因为当c=0时, 上式显然成立;
当c¹0时, 有
(a+b)×c=|c|Prjc(a+b)
=|c|(Prjca+Prjcb)
=|c|Prjca+|c|Prjcb
=a×c+b×c .

例1 试用向量证明三角形的余弦定理.
证: 设在ΔABC中, ∠BCA=q (图7-24), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c,
要证
c 2=a 2+b 2-2 a b cos q .
记=a, =b, =c, 则有
c=a-b,
从而 |c|2=c × c=(a-b)(a-b)=a × a+b × b-2a × b=|a|2+|b|2-2|a||b|cos(a,^b),
即 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q .

数量积的坐标表示:
设a=(ax, ay, az ), b=(bx, by, bz ), 则
a·b=axbx+ayby+azbz .
提示: 按数量积的运算规律可得
a·b =( ax i + ay j + az k)·(bx i + by j + bz k)
=ax bx i·i + ax by i·j + ax bz i·k
+ay bx j ·i + ay by j ·j + ay bz j·k
+az bx k·i + az by k·j + az bz k·k
= ax bx + ay by + az bz .
两向量夹角的余弦的坐标表示:
设q=(a, ^ b), 则当a¹0、b¹0时, 有
.
提示: a·b=|a||b|cosq .

例2 已知三点M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求ÐAMB .
解 从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则ÐAMB 就是向量a与b的夹角.
a={1, 1, 0}, b={1, 0, 1}.
因为
a×b=1´1+1´0+0´1=1,
,
.
所以 .
从而 .
例3．设液体流过平面S 上面积为A的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为（常
向量)v. 设n为垂直于S的单位向量（图7-25(a)）, 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为ρ).
解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为| v |的斜柱体(图7-25(b)).
这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n的夹角q , 所以这柱体的高为| v | cosq, 体积为
A| v | cos q = A v ·n.
从而, 单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量为
P=rAv ·n.
二、两向量的向量积
在研究物体转动问题时, 不但要考虑这物体所受的力, 还要分析这些力所产生的力矩.
设O为一根杠杆L的支点.有一个力F作用于这杠杆上P点处. F与的夹角为q .
由力学规定, 力F对支点O的力矩是一向量M, 它的模
,
而M的方向垂直于与F所决定的平面, M的指向是的按右手规则从以不超过p的角转向F来确定的.
向量积: 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出:
c的模 |c|=|a||b|sin q , 其中q 为a与b间的夹角;
c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定.
那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作a´b, 即
c = a´b.
根据向量积的定义, 力矩M等于与F的向量积, 即
.
向量积的性质:
(1) a´a = 0 ;
(2) 对于两个非零向量a、b, 如果a´b = 0, 则a//b; 反之, 如果a//b, 则a´b = 0.
如果认为零向量与任何向量都平行, 则a//b Û a´b = 0.
数量积的运算律:
(1) 交换律a´b = -b´a;
(2) 分配律: (a+b)´c = a´c + b´c.
(3) (la)´b = a´(lb) = l(a´b) (l为数).
数量积的坐标表示: 设a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k. 按向量积的运算规律可得
a´b = ( ax i + ay j + az k) ´ ( bx i + by j + bz k)
= ax bx i´i + ax by i´j + ax bz i´k
+ay bx j´i + ay by j´j + ay bz j´k
+az bx k´i + az by k´j + az bz k´k.
由于i´i = j´j = k´k = 0, i´j = k, j´k = i, k´i = j, 所以
a´b = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k.
为了邦助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成
=aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi
= ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. .
例4 设a=(2, 1, -1), b=(1, -1, 2), 计算a´b .
解 =2i-j-2k-k-4j-i =i-5j -3k.
例5 已知三角形ABC的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面积.
解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC的面积
.
由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此
=4i-6j+2k.
于是 .

例6 设刚体以等角速度w 绕l 轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度.
解 刚体绕l 轴旋转时, 我们可以用在l 轴上的一个向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l 轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是w的方向.
设点M到旋转轴l的距离为a , 再在l轴上任取一点O作向量r =, 并以q 表示w与r的夹角, 那么
a = |r| sinq .
设线速度为v, 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知, v的大小为
|v| =| w|a = |w| |r| sinq ;
v的方向垂直于通过M点与l轴的平面, 即v垂直于w与r, 又v的指向是使w、r、v符合右手规则. 因此有
v = w´r.

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