高等数学教案7-1.DOC

§7．2 向量及其加减法 向量与数的乘法
§7. 1 向量及其线性运算
一、向量概念
向量: 在研究力学、物理学以及其他应用科学时, 常会遇到这样一类量, 它们既有大小, 又有方向. 例如力、力矩、位移、速度、加速度等, 这一类量叫做向量.
在数学上, 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.
向量的符号:
以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作. 向量可用粗体字母表示, 也可用上加箭头书写体字母表示, 例如, a、r、v、F或、、、.
自由向量: 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向, 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量, 并称这种向量为自由向量, 简称向量. 因此, 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是相等的, 记为a = b. 相等的向量经过平移后可以完全重合.
向量的模: 向量的大小叫做向量的模.
向量a、、的模分别记为|a|、、.
单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.
零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.
向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a与b平行, 记作a // b. 零向量认为是与任何向量都平行.
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
类似还有共面的概念. 设有k(k³3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
二、向量的线性运算
1．向量的加法
向量的加法: 设有两个向量a与b, 平移向量使b的起点与a的终点重合, 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b .
三角形法则:
上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则.
平行四边形法则:
当向量a与b不平行时, 平移向量使a与b的起点重合, 以a、b为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.

A
B
C
A
B
C

D

向量的加法的运算规律:
(1)交换律a+b=b+a;
(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).
由于向量的加法符合交换律与结合律, 故n个向量a1, a2, × × ×, an(n ³3)相加可写成
a1+a2+ × × ×+an,
并按向量相加的三角形法则, 可得n个向量相加的法则如下: 使前一向量的终点作为次一向量的起点, 相继作向量a1, a2, × × ×, an, 再以第一向量的起点为起点, 最后一向量的终点为终点作一向量, 这个向量即为所求的和.
负向量:
设a为一向量, 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量, 记为-a.
向量的减法:
我们规定两个向量b与a的差为
b-a=b+(-a).
即把向量-a加到向量b上, 便得b与a的差b-a.
特别地, 当b=a时, 有
a-a=a+(-a)=0.

-
-

-

显然, 任给向量及点O, 有
,
因此, 若把向量a与b移到同一起点O, 则从a的终点A向b的终点B所引向量便是向量b与a的差b-a .
三角不等式:
由三角形两边之和大于第三边的原理, 有
|a+b|£|a|+|b|及|a-b|£|a|+|b|,
其中等号在b与a同向或反向时成立.
2．向量与数的乘法
向量与数的乘法的定义:
向量a与实数l的乘积记作la, 规定la是一个向量, 它的模|la|=|l||a|, 它的方向当l>0时与a相同, 当l<0时与a相反.
当l=0时, |la|=0, 即la为零向量, 这时它的方向可以是任意的.
特别地, 当l=±1时, 有
1a=a, (-1)a=-a.
运算规律:
(1)结合律 l(ma)=m(la)=(lm)a；
(2)分配律 (l+m)a=la+ma；
l(a+b)=la+lb.
例1. 在平行四边形ABCD中, 设=a, =b.
试用a和b表示向量、、、, 其中M是平行四边形对角线的交点.

解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以
A
B
C
D
M

a+b, 即 -(a+b),
于是 (a+b).
因为, 所以(a+b).
又因-a+b, 所以(b-a).
由于, 所以(a-b).
例1 在平行四边形ABCD中, 设, . 试用a和b表
示向量、、、, 其中M是平行四边形对角线的交点.
A
B
C
D
M

解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以
,
于是; .

因为, 所以;
向量的单位化:
设a¹0, 则向量是与a同方向的单位向量, 记为ea.
于是a=|a|ea.
向量的单位化:
设a¹0, 则向量是与a同方向的单位向量, 记为ea.
于是a = | a | ea.
定理1 设向量a ¹ 0, 那么, 向量b平行于a的充分必要条件是:
存在唯一的实数l, 使 b = la.
证明: 条件的充分性是显然的, 下面证明条件的必要性.
设b // a. 取, 当b与a同向时l取正值, 当b与a反向时l取负值, 即b=la. 这是因为此时b与la同向, 且
|la|=|l||a|.
再证明数l的唯一性. 设b=la, 又设b=ma, 两式相减, 便得
(l-m)a=0, 即|l-m||a|=0.
因|a|¹0, 故|l-m|=0, 即l=m.
给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴. 设点O及单位向量i确定了数轴Ox, 对于轴上任一点P, 对应一个向量, 由//i, 根据定理1, 必有唯一的实数x, 使=xi(实数x叫做轴上有向线段的值), 并知与实数x一一对应. 于是
点P«向量= xi«实数x ,
从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系. 据此, 定义实数x为轴上点P的坐标.
由此可知, 轴上点P的坐标为x的充分必要条件是
= xi .
三、空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系.
注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;
(2)通常把x 轴和y轴配置在水平面上, 而z轴则是铅垂线;
(3)数轴的的正向通常符合右手规则.
坐标面:
在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面.
x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面, 另两个坐标面是yOz面和zOx面.

卦限:
三个坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限, 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy面的上方. 在xOy面的上方, 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy面的下方, 与第一卦限对应的是第五卦限, 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示.
向量的坐标分解式:
任给向量r, 对应有点M, 使. 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体, 有
,
设 , , ,
则 .
上式称为向量r的坐标分解式, xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
显然, 给定向量r, 就确定了点M及, , 三个分向量, 进而确定了x、y、z三个有序数; 反之, 给定三个有序数x、y、z也就确定了向量r与点M. 于是点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系
.

据此, 定义: 有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标, 记作r=(x, y, z); 有序数x、y、z也称为点M(在坐标系Oxyz)的坐标, 记为M(x, y, z).
向量称为点M关于原点O的向径. 上述定义表明, 一个点与该点的向径有相同的坐标. 记号(x, y, z)既表示点M, 又表示向量.
坐标面上和坐标轴上的点, 其坐标各有一定的特征. 例如: 点M在yOz面上, 则x=0; 同相, 在zOx面上的点, y=0; 在xOy面上的点, z=0. 如果点M在x轴上, 则y=z=0; 同样在y轴上,有z=x=0; 在z轴上 的点, 有x=y=0. 如果点M为原点, 则x=y=z=0.

四、利用坐标作向量的线性运算
设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)
即 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk ,
则 a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk)
=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k
=(ax+bx, ay+by, az+bz).
a-b=(axi+ayj+azk)-(bxi+byj+bzk)
=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k
=(ax-bx, ay-by, az-bz).
la=l(axi+ayj+azk)
=(lax)i+(lay)j+(laz)k
=(lax, lay, laz).
利用向量的坐标判断两个向量的平行: 设a=(ax, ay, az)¹0, b=(bx, by, bz), 向量b//aÛb=la , 即b//aÛ(bx, by, bz)=l(ax, ay, az), 于是.
例2 求解以向量为未知元的线性方程组,
其中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2).
解 如同解二元一次线性方程组, 可得
x=2a-3b, y=3a-5b .
以a、b的坐标表示式代入, 即得
x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2)=(7, -1, 10),
y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16).
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数l¹-1,
在直线AB上求一点M, 使.
解 由于, ,
因此 ,
从而
. ,
这就是点M的坐标.
另解 设所求点为M (x, y, z), 则, . 依题意有, 即
(x-x1, y-y1, z-z1)=l(x2-x, y2-y, z2-z)
(x, y, z)-(x1, y1, z1)=l(x2, y2, z2)-l(x, y, z),
,
, , .
点M叫做有向线段的定比分点. 当l=1, 点M的有向线段的中点, 其坐标为
, , .
五、向量的模、方向角、投影
1．向量的模与两点间的距离公式
设向量r=(x, y, z), 作, 则
,
按勾股定理可得
,
设 , , ,
有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|,
于是得向量模的坐标表示式
.
设有点A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), 则
=(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1)=(x2-x1, y2-y1, z2-z1),
于是点A与点B间的距离为
.
例4 求证以M1(4, 3, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 因为 | M1M2|2 =(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 =14,
| M2M3|2 =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 =6,
| M1M3|2 =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6,
所以|M2 M3|=|M1M3|, 即D M1 M2 M3为等腰三角形.
例5 在z轴上求与两点A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距离的点.
解 设所求的点为M(0, 0, z), 依题意有|MA|2=|MB|2,
即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.
解之得, 所以, 所求的点为.
例6 已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求与方向相同的单位向量e.
解 因为,
,
所以 .
2．方向角与方向余弦
当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过p的夹角称为向量a与b的夹角, 记作或. 如果向量a与b中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与p之间任意取值.
类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.
非零向量r与三条坐标轴的夹角a、b、g称为向量r的方向角.
向量的方向余弦:
设r=(x, y, z), 则
x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg .
cosa、cosb、cosg 称为向量r的方向余弦.
, , .
从而 .
上式表明, 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e r . 因此
cos2a+cos2b+cos2g=1.
例3 设已知两点)和B (1, 3, 0), 计算向量的模、方向余弦和方向角.
解 ;
;
, , ;
, , .

3．向量在轴上的投影
设点O及单位向量e确定u轴.
任给向量r, 作, 再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M¢(点M¢叫作点M在u轴上的投影), 则向量称为向量r在u轴上的分向量. 设, 则数l称为向量r在u轴上的投影, 记作Prjur或(r)u .
按此定义, 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax, ay, az就是a在三条坐标轴上的投影, 即
ax=Prjxa, ay=Prjya, az=Prjza.
投影的性质:
性质1 (a)u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j), 其中j为向量与u轴的夹角;
性质2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub);
性质3 (la)u=l(a)u (即Prju(la)=lPrjua);

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