高等数学教案6-3.DOC

§6．1 定积分的元素法
§6. 5 功 水压力和引力
一、变力沿直线所作的功
例1 把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处, 它产生一个电场. 这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方, 那么电场对它的作用力的大小为
(k是常数).
当这个单位正电荷在电场中从r=a处沿r轴移动到r=b(a<b)处时, 计算电场力F对它所作的功.
例1¢ 电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b(a<b)处求电场力对单位正电荷所作的功.
提示: 由物理学知道, 在电量为+q的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为 (k是常数).

解: 在r轴上, 当单位正电荷从r移动到r+dr时,
电场力对它所作的功近似为,
即功元素为.
于是所求的功为
.
例2. 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功.
解: 取坐标系如图, 活塞的位置可以用坐标x来表示. 由物理学知道, 一定量的气体在等温条件下, 压强p与体积V的乘积是常数k , 即
pV=k 或.
解: 在点x处, 因为V=xS, 所以作在活塞上的力为
.
当活塞从x移动到x+dx时, 变力所作的功近似为,
即功元素为.
于是所求的功为
.
例3. 一圆柱形的贮水桶高为5m, 底圆半径为3m, 桶内盛满了水. 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？
解: 作x轴如图. 取深度x 为积分变量. 它的变化区间为[0, 5], 相应于[0, 5]上任小区间[x, x+dx]的一薄层水的高度为dx. 水的比重为9.8kN/m3, 因此如x的单位为m, 这薄层水的重力为9.8p×32dx. 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为
dW=88.2p×x×dx,
此即功元素. 于是所求的功为
(kj).
二、水压力
从物理学知道, 在水深为h处的压强为p=gh , 这里 g 是水的比重. 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处, 那么, 平板一侧所受的水压力为
P=p×A.
如果这个平板铅直放置在水中, 那么, 由于水深不同的点处压强p不相等, 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算.
例4. 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水. 设桶的底半径为R, 水的比重为 g ,
计算桶的一个端面上所受的压力.
解: 桶的一个端面是圆片, 与水接触的是下半圆. 取坐标系如图.
在水深x处于圆片上取一窄条, 其宽为dx , 得压力元素为
.
所求压力为

.
三、引力
从物理学知道, 质量分别为m 1、m 2, 相距为r的两质点间的引力的大小为
,
其中G为引力系数, 引力的方向沿着两质点连线方向.
如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 那么, 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的, 且各点对该质点的引力的方向也是变化的, 就不能用上述公式来计算.
例5. 设有一长度为l 、线密度为r的均匀细直棒, 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M. 试计算该棒对质点M的引力.
例5¢. 求长度为l、线密度为r的均匀细直棒对其中垂线上距棒a单位处质量为m的质点M的引力.
解: 取坐标系如图, 使棒位于y轴上, 质点M位于x轴上, 棒的中点为原点O. 由对称性知, 引力在垂直方向上的分量为零, 所以只需求引力在水平方向的分量. 取y为积分变量, 它的变化区间为. 在上y点取长为dy 的一小段, 其质量为rdy, 与M相距. 于是在水平方向上, 引力元素为
.
引力在水平方向的分量为
.

3