高等数学教案3-1.DOC

31 中值定理 第三章 中值定理与导数的应用 3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 并且在x0处可导, 如果对任意xU(x0), 有 f(x)f(x0) (或f(x)f(x0), 那么f (x0)=0. 罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)内至少在一点x , 使得f (x)=0. 简要证明: (1)如果f(x)是常函数, 则f (x)0, 定理的结论显然成立. (2)如果f(x)不是常函数, 则f(x)在(a, b)内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点x(a, b). 于是, , 所以f (x)=0. 罗尔定理的几何意义: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 那么在(a, b)内至少有一点x(axb), 使得等式f(b)-f(a)=f (x)(b-a)成立. 拉格朗日中值定理的几何意义: f (x)=, 定理的证明: 引进辅函数令 j(x)=f(x)-f(a)-(x-a). 容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件: j(a)=j(b)=0, j(x)在闭区间a, b 上连续在开区间(a, b)内可导, 且j (x)=f (x)-. 根据罗尔定理, 可知在开区间(a, b)内至少有一点x, 使j (x)=0, 即f (x)-=0. 由此得 = f (x) , 即 f(b)-f(a)=f (x)(b-a). 定理证毕. f(b)-f(a)=f (x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b0或Dx0)或x+Dx, x (Dx0)应用拉格朗日中值公式, 得f(x+Dx)-f(x)=f (x+qDx)Dx (0q1). 如果记f(x)为y, 则上式又可写为Dy=f (x+qDx)Dx (0q1). 试与微分d y=f (x)Dx 比较: d y =f (x)Dx是函数增量Dy 的近似表达式, 而f (x+qDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式. 作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理: 定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零, 那么f(x)在区间I上是一个常数. 证 在区间I上任取两点x1, x2(x1x2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f(x2)-f(x1)=f (x)(x2 - x1) (x1x0时, . 证 设f(x)=ln(1+x), 显然f(x)在区间0, x上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f(x)-f(0)=f (x)(x-0), 0xx。由于f(0)=0, , 因此上式即为 .又由0xx, 有 . 三、柯西中值定理 设曲线弧C由参数方程 (axb)表示, 其中x为参数. 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C上必有一点x=x , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB, 曲线C上点x=x 处的切线的斜率为 , 弦AB的斜率为 . 于是 . 柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 且F (x)在(a, b)内的每一点处均不为零, 那么在(a, b)内至少有一点x , 使等式 .成立. 显然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F (x)=1, 因而柯西中值公式就可以写成: f(b)-f(a)=f (x)(b-a) (axb), 这样就变成了拉格朗日中值公式了. 3