专题：数列及其数列求和.doc

专题：数列及其数列求和
一、基本知识
1．定义：
(1) .数列：按一定次序排序的一列数
(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列
(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列
2． 通项公式与前n项和公式
为等差数列：

为等比数列：
（q
3． 常用性质
为等差数列，则有
（1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，（n>1）
（2）
（3） 若m+n = p+q , 则：，特殊的：若m+n=2r ,则有：
（4） 若则有：
（5） 若
（6） 为等差数列为常数)
（7） ┅┅仍成等差数列
（8）为等差数列，则为等差数列（p，q为常数）
（9）若项数为偶数2n，，
若项数奇数2n－1，，
（10）
为等比数列，则有
（1） 只有同号的两数才存在等比中项
（2）
（3） 若m+n = p+q , 则：，特殊的：若m+n=2r ,则有：
（4） 为等比数列，则， ，{}为等比数列（）
（5） 等比数列中连续n项之积构成的新数列仍是等比数列，当时，连续项之和仍为等比数列
（6）
二、在数列中常见问题：
1、等差数列的通项公式是关于n的一次函数，（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：
2、等差数列当首项a1>0且公差d<0时(递减数列)，前n项和存在最大值。利用确定n值，即可求得sn的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。
等差数列当首项a1<0且公差d>0时（递增数列），前n项和存在最小值。
3、遇到数列前n项和Sn与通项an的关系的问题应利用
4、满足的数列，求通项用累加（消项）法，
如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an+2n, 求an ；
满足的数列，求通项用累乘（消项）法，
如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an, 求an ；

三、数列求和的常用方法：
(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和
等差数列：；
等比数列： ；
(2)分组求和：如：求1+1,,,…,,…的前n项和
可进行分组即：
前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和
（注：）
(3)裂项法：如 ，求Sn ，常用的裂项，；
(4)错位相减法：其特点是cn=anbn 其中{an}是等差，{bn}是等比 如：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n－1)xn－1 注意讨论x，

(5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+…
+(2n—1) Cnn=(n+1)2n

错位相减法：
例1 求和
例2 求数例1，3a，5a2，7a3，…(2n－1)an-1，…(a≠1)的前n项和．
　解：因 Sn=1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an-1， (1)
　　 (1)×a得
aSn=a＋3a2＋5a3＋…(2n－3)an-1＋(2n－1)an，（2）
　　两式相减得
　　 (1－a)Sn=1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an-1－(2n－1)an
　　 =2(1＋a＋a2＋a3＋…＋an-1)－(2n－1)an-1
　　 =
所以:
例3．已知数列的首项，，…．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）数列的前项和．
解：（Ⅰ） ，
，

又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．
设…， ①
则…，②
由①②得
…，
．又…．
数列的前项和 ．
例4：已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+ a2+ a3=12，令bn= anxn(x∈R)，求数列{bn}的前n项和公式。
裂项相消法：
例1 求和：
解：，

例2：数列{an}通项公式是，若前n项的和为10，求项数。
例3：求和
分部求和法：
例1 已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求
解：首先由
则

例2已知数列的通项公式为，求其前n项和Sn
例3：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n；
例4：
倒序相加法：
例1 sin21°+ sin22°+ sin23°+……+ sin288°+ sin289°的值
例2 设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：
解：因为 （1）
（2）
（1）+（2）得

例3设，利用课本推导等差数列的前n项和公式的方法，可求得f(-5)+ f(-4)+…+ f(5)+ f(6)
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