数列专题错位相减求和.doc

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高一数学第七周周考

一、解答题
1．已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
2．已知等差数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为
3．已知数列满足，
（1）求证:数列是等比数列，并求其通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
4．已知等差数列的公差大于,且是方程的两根,数列的前项的和为，且.（12分）
（1） 求数列，的通项公式；
（2） 记,求数列的前项和
5．已知数列{an}的前n项和sn满足Sn=2n2﹣13n（n∈N*）．
（1）求通项公式an；
（2）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
6．等差数列的首项，其前项和为，且．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求满足不等式的的值．
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2.当n≥2时，Sn－1＋1，an，Sn＋1成等差数列．
(1)求证：{Sn＋1}是等比数列；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
8．已知数列的前项和为，且， .
（1）求的值；
（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.
9．已知为等差数列的前项和，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
10．已知为数列的前项和，若且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项之和.
11．已知等差数列的前3项和为6，前8项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
12．已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足.
（I）求数列的通项公式；
（II）设数列的前项和为，求证：.
13．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
14．（本题满分12分）
已知公差不为零的等差数列的前4项和为10，且成等比数列.
（Ⅰ）求通项公式；
（Ⅱ）设,求数列的前项和.
15．已知数列是等差数列，且，.
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 令，求数列的前项和.
16．已知数列，满足，，且.
（1）令，求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式及前项和公式.
17．（12分）已知数列的前项和为，点均在二次函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
18．已知公差不为零的等差数列，若，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．已知数列满足，令．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．

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参考答案
1．（1），．（2）
【解析】
试题分析：（1）求等差与等比数列通项公式，一般方法为待定系数法，即根据条件列关于公差与公比的方程组：解得，，再代入通项公式即得，．（2）因为，所以利用错位相减法求和，注意作差时，错项相减，最后一项的符号变化，中间等比项求和时注意项数，最后不要忘记除以
试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
由题意得解得，或（舍去），．
∴，．
（2）由题意得，
所以，①
，②
①②得，
所以．
考点：错位相减法求和
2．（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）利用等差数列的通项公式，前项和公式，得到关于的二元一次方程组，解之，即可得到，则数列通项公式可求；
（2）由（1）可知的通项为，则利用错位相减法即可求出其前项和
试题解析：（1）等差数列{an}，．

（2）

考点：等差数列的通项公式，前项和公式,错位相减法
3．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由，，变形为，利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．（2）由，可得．当n≤8时，＜0，当n≥9时，＞0．对n分类讨论，去掉绝对值符号，利用等差数列的求和公式即可得出
试题解析：（1），
，为等比数列

（2） ，
当时，,当时, 。
设数列的前项和为,则
当时，

所以，
当时

所以，

综上，
考点：等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式
4．（1），
（2），
【解析】解：（Ⅰ）∵是方程的两根，且数列的公差d>0，
∴a3=5，a5=9，公差
∴ ………………3分
又当n=1时，有b1=S1=1－
当
∴数列{bn}是等比数列，
∴ …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 所以 …………12分
5．（1）an=4n﹣15（2）Tn=﹣7﹣
【解析】解：（1）①当n=1时，a1=S1=﹣11，
②当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣13n﹣[2（n﹣1）2﹣13（n﹣1）]=4n﹣15，
n=1时，也适合上式．
∴an=4n﹣15．
（2）cn===•（4n﹣15），
∴Tn=+++…+•（4n﹣15），①
=++…++②
①﹣②，得：Tn=﹣+4（++…+）﹣（4n﹣15）•（）n+1
=﹣+4•﹣（4n﹣15）•（）n+1
=﹣﹣，
∴Tn=﹣7﹣．
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
6．（Ⅰ）；（Ⅱ）2，3，4
【解析】
试题分析：（Ⅰ）已知，要求等差数列的通项公式，可先求得公差，可把已知条件用表示出来，然后写出通项公式；（Ⅱ）由等差数列前项和公式写出，再解不等式即可．
试题解析：
（Ⅰ）设数列的公差为．
因为，所以．
因为，所以，即，
所以．
（Ⅱ）因为，，所以，
所以，所以，
解得，所以的值为．
考点：等差数列的通项公式与前项和公式．
7．（1）见解析
（2）Tn＝
【解析】解：(1)证明：∵Sn－1＋1，an，Sn＋1成等差数列，
∴2an＝Sn＋Sn－1＋2(n≥2)．
∴2(Sn－Sn－1)＝Sn＋Sn－1＋2，即Sn＝3Sn－1＋2，
∴Sn＋1＝3(Sn－1＋1)(n≥2)．
∴{Sn＋1}是首项为S1＋1＝3，公比为3的等比数列．
(2)由(1)可知Sn＋1＝3n，∴Sn＝3n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1.
又a1＝2，∴an＝2×3n－1(n∈N*)．nan＝2n·3n－1
∴Tn＝2＋4×3＋6×32＋…＋2(n－1)×3n－2＋2n×3n－1，①
3Tn＝2×3＋4×32＋6×33＋…＋2(n－1)×3n－1＋2n×3n，②
由①－②得，
－2Tn＝2＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－2n×3n＝－2n×3n＝3n－1－2n×3n，
∴Tn＝.
8．（1）（2）通项为证明：①当时，由条件知等式成立，②假设当（且）等式成立，即：
那么当时，，，由得
由①②可知，命题对一切都成立
【解析】
试题分析：⑴，且
当时，，解得：；
当时，，解得：
⑵由⑴可以猜想的通项为
用数学归纳法证明如下：
①当时，由条件知等式成立；
②假设当（且）等式成立，即：
那么当时，由条件有：
；
，即， ，即：当时等式也成立．
由①②可知，命题对一切都成立．
考点：数列求通项及数学归纳法证明
点评：已知条件是关于的关系式，此关系式经常用到
有关于正整数的命题常用数学归纳法证明，其主要步骤：第一步，n取最小的正整数时命题成立，第二步，假设时命题成立，借此来证明时命题成立
9．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求的通项公式，关键是求等差数列的首项及公差即，由已知可知，即，解方程组得，有等差数列的通项公式即可写出的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和，首先求出数列的通项公式，由（Ⅰ）可知，从而可得，分母是等差数列的连续两项的积，符合利用拆项相消法求和，故，即可求出．
试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为.因为，
所以 解得 4分
所以 6分
（Ⅱ）

12分
考点：等差数列的通项公式，数列求和．
10．(1) ；(2) 数列前项之和为．
【解析】试题分析：（1）由可得数列是首项为，公比为的等比数列，然后
根据数列的通项与前项和之间的关系，即可求数列的通项公式；（2）根据（1）求出的通项公式，利用裂项相消法即可求数列的前项和.
试题解析：（1）由题设得：数列是首项为，公比为的等比数列.

（2）由（1）知： .
数列前项之和为.
11．（1） （2）
【解析】试题分析：
（1）由等差数列的前3项和为6，前8项和为-4，利用等差数列的前项和公式建立方程组求出．由此能求出数列的通项公式．
（2）由，知，所以数列的前n项和，由此利用错位相减法能求出数列的前n项和
试题解析：
（1）设等差数列的公差为.
由已知得，解得.
故.
（2）由（1）得， .
，两边同乘以2得
，两式相减得

点睛：求解由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列的前项和，一般采用错位相消法，用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
12．（Ⅰ）. （Ⅱ）详见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）首先令求出首项，.
由两式相减，得即.所以，
数列是首项为2，公比为的等比数列.由等比数列的通项公式便可得数列的通项公式.
（Ⅱ）证明有关数列前项和的不等式，一般有以下两种思路：一种是先求和后放缩，一种是先放缩后求和.在本题中，由（Ⅰ）可得：，.这显然用裂项法求和，然后用放缩法即可证明.
试题解析：（Ⅰ）由题设知， 2分
由两式相减，得.
所以. 4分
可见，数列是首项为2，公比为的等比数列。
所以6分
（Ⅱ）， 8分
. 10分

=. 12分
考点：1、等比数列；2、裂项法；3、不等式的证明.
13．(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2.
∴数列{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有解得，
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
所以数列{bn}的前n项和
Sn＝＝6n2－22n.
【解析】略
14．（1）an=3n－5.（Ⅱ）
【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解以及等比数列求和的综合运用。
（1）因为公差不为零的等差数列的前4项和为10，且成等比数列，联立方程组得到首项和公差得到结论。
（2）在第一问的基础上可知，，利用等比数列的求和公式得到结论。
（1）由题意知
…………………………3分
解得……………………………………………………… 5分
所以an=3n－5.………………………………………………………… 6分
（Ⅱ）∵
∴数列{bn}是首项为，公比为8的等比数列，---------------------------9分
所以…………………………………………12分
15．（1）2n
（2）
【解析】
试题分析：解:（1），

（2）由已知：
①
②
①-②得
=
.
考点：等差数列，错位相减法
点评：主要是考查了等差数列的通项公式以及求和的运用，属于中档题。
16．（1）（2），
【解析】
试题分析：（1）两式相加得，即，根据等差数列定义及通项公式得（2）两式相减得，根据等比数列定义及通项公式得，又，解方程组得，最后根据分组求和得
试题解析：解：（1）由题设得，即，
易知是首项为，公差为的等差数列，通项公式为
（2）由题设得，
令，则，
易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为
解得
求和得
考点：等差数列及等比数列定义及通项公式，分组求和
17．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由数列前n项和求通项时主要借助于公式解决（2）将通项整理后根据特点采用裂项相消的方法求和
试题解析：（1）点均在二次函数的图象上，（1）
．（2分）
当时，；（4分）
当时，，满足上式．（5分）
数列的通项公式是．（6分）
（2），（7分）
．（9分）
（10分）

．（12分）
考点：1．数列求通项公式；2．裂项相消法求和
18．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）借助等差数列的通项公式建立方程求解；（2）借助题设条件运用等差数列等比数列的求和公式求解.
试题解析:
（1）设数列的公差为.
∵，且成等比数列，
∴，即，
∴
∵，∴，∴.
（2），

.
考点：等差数列和等比数列的有关知识及运用．
19．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由，可得，即，即可得出，可证明数列是等差数列；（2）由（1）可知，根据等差数列的通项公式，求解，即可求解数列的通项公式．
试题解析：（1）∵，
∴，∴，
故，即，
所以为等差数列．
（2）由（1）知是等差数列，首项，公差，
∴，
即，∴，所以数列的通项公式为．
考点：等差数列的定义；等差数列的通项公式．
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