数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等).doc

考点4 数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等）
1．（2015江苏苏州市高三上调考）已知数列{ }共有2k项（2≤k且k∈N*），数列{ }的前n项的和为，满足=2， =（p－1）+2（n=1，2，3，…，2n－1），其中常数p＞1
（1）求证：数列{ }是等比数列；
（2）若p=，数列{ }满足（）（n=1，2，…，2n），求数列{ }的通项公式
（3）对于（2）中的数列{ }，记，求数列{ }的前2k项的和．
【考点】数列的求和；数列的应用．
【解】（1）证明：当n=1时， =2p，则，
当2≤n时，，，
∴，即，
∴，
故数列{ }是等比数列．
（2）由（1），得（n=1，2，…，2n），
∴
，
=
=，（n=1，2，…，2n），
即数列{bn}的通项公式为，（n=1，2，…，2n）．
（3），设，解得n≤，
又n为正整数，于是：当n≤k时，；当n≥k+1时，，
∴数列{ }的前2k项的和：
．
2．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））设数列{ }的前n项和记为，且．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设，记数列{ }的前n项和记为，，求证：.
【考点】错位相减法求和
【解】（1）当n=1时，，当n≥2时，，故，
（2），其中，当n≥2时，①，②，∴①－②得，，
∴，由于，∴．
3．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））已知数列中，，二次函数的对称轴为x=，
（1）试证明是等差数列，并求的通项公式；
（2）设的前n项和为，试求使得成立的n的值，并说明理由．
【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和．
【解】（1） ∵二次函数的对称轴为x=，
∴≠0，，整理得，
左右两边同时乘以，得，即 (常数)，
∴是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴，
∴．
（2）∵ ， ①
， ②
①-②得：，
整理得 ．
∵ ，
∴ 数列{ }是单调递增数列．
∴ 要使成立，即使，整理得n+2>，
∴ n=1，2，3．
4．（2015江苏省南京市高三考前综合）公差不为零的等差数列{ }的前n项之和为，且对n∈成立．
（1）求常数k的值以及数列{}的通项公式；
（2）设数列{}中的部分项，恰成等比数列，其中＝2，,＝14，求的值．
【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法．
【解】（1）法一：条件化为对n∈成立．
设等差数列公差为d，则．
分别令n＝1，2，3得：
由①＋③－2´②得，．两边平方得，．
两边再平方得，．解得d＝2．
代入②得，，④
由④－①得，．所以＝0，或＝1．
又当＝0时，d＝0不合题意．所以＝1，d＝2．
代入①得k＝1．
而当k＝1，＝1，d＝2时，，等式对n∈成立．
所以k＝1，．
法二：设等差数列的首项为，公差为d，
则，．
代入得，，
即．
因为上面等式对一切正整数n都成立，所以由多项式恒等可得，
因为d≠0，所以解得，所以常数k＝1，通项公式．
（2）设，则数列{}为等比数列，且．
故等比数列{}的公比q满足．
又＞0，所以q＝3．所以．
又，所以．
由此可得．所以．
所以
．
法一：令，
则，
两式相减得:，
,代入得
．
法二：因为
．所以
．代入得
.
5．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知是等差数列，其前n项的和为，是等比数列，且，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【考点】数列的求和，数列递推式.
【解】(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.
由，得=2+3d，，
由条件，，得方程组解得
所以.
(2)由题意知，.
记.
则=，
，
所以，
.
6. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知{}为等比数列，其中=1，且成等差数列．
（1）求数列{}的通项公式：
（2）设，求数列{}的前n项和．
【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式．
【解】（1）设在等比数列{}中，公比为q，
∵，且成等差数列，
∴，
∴，
解得q=，∴．
（2）∵，∴，
∴，①
，②
①－②，得：
，
∴．
7．等差数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前10项的和为________．
【答案】　75
【分析】　因为，所以的前10项和为10×3＋＝75.
8．已知函数，且，则等于________．
【答案】　100
【分析】　由题意，得
＝
＝
＝
＝.
9．数列，，，，共有十项，且其和为240，则＋的值为________．
【答案】　130
【分析】　＋＝240－(2＋＋2k＋＋20)＝240－＝240－110＝130.
10．(2015·泰州质检)已知数列满足，，则________.
【答案】　
【分析】　，，又.
∴＝2.∴，，，成等比数列；，，，成等比数列，
∴
＝
＝.
11．已知数列：，，，，，，若，那么数列的前n项和为________．
【答案】　
【分析】　，
∴，
∴
＝.
12．(2015·扬州测试)在数列中，，，记为的前n项和，则＝________.
【答案】　－1005
【分析】　由，可得，，，,
该数列是周期为4的数列，所以
.
13．(2014·济南模拟)设等差数列的前n项和为，且，.
(1)求，；
(2)设，，求.
【解】(1)因为，所以，
又因为，所以.解得d＝8，，
所以，
.
(2)，
所以.
.
14．(2015·石家庄模拟)已知是各项均为正数的等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求数列的前n项和．
【解】(1)设等比数列的公比为q，由已知得，
又∵，，解得，∴.
(2)由得，
∴当时，，
当n＝1时，符合上式，
∴，∴.
，
，
两式相减得，
∴.
15．数列满足，则的前60项和为________．
【答案】　1830
【分析】　∵，
∴，，，，，，，
，，，，，，，
，，
∴
.
16．在等比数列中，，，若数列满足，则数列的前n项和＝________.
【答案】　
【分析】　设等比数列的公比为q，
则，解得q＝3.
所以，
故，
所以.
则数列的前n项和为.
17．(2015·南京模拟)数列满足，且，是数列的前n项和，则＝________.
【答案】　6
【分析】　依题意得，则，即数列中的奇数项、偶数项分别相等，则，
.
18．(2015·长沙模拟)已知函数，且，则________.
【答案】　－100
【分析】　若n为偶数，则，为首项为，公差为的等差数列；若n为奇数，则
，为首项为，公差为4的等差数列．
所以
.
19．设，利用倒序相加法，可求得的值为________．
【答案】　5
【分析】　当时，
＝.
设S＝，
倒序相加有2S＝，
即S＝5.
20．在数列中，，，记，，，若对于任意，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解】(1)根据题意A(n)，B(n)，C(n)成等差数列，
∴A(n)＋C(n)＝2B(n)，
整理得，
∴数列是首项为－5，公差为3的等差数列，
∴.
(2)，
记数列的前n项和为.
当时，；
当时，，
综上，.
21. (2014·广州综测)已知等差数列的前n项和为，且，，成等比数列．
(1)求p，q的值；
(2)若数列满足，求数列的前n项和.
【解】(1)当n＝1时，，
当时，
＝
＝.
∵是等差数列，
∴1＋p＋q＝2×1－1＋p，得q＝0.
又，，，
∵，，成等比数列，
∴，即，
解得p＝－1.
(2)由(1)得.
∵，
∴.
∴
，①
，②
①－②得
.
∴．