湖北省六校联考2015届高三(上)1月调考数学试卷(理科)【解析版】.doc

2014-2015学年湖北省六校联考高三（上）1月调考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．设复数z满足，则 =( )
A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i

2．设集合P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是( )
A．2 B．3 C．7 D．8

3．下列结论正确的是( )
A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λ
B．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”
C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1
D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞0

4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )[来源:学|科|网Z|X|X|K]

A．36π B．9π C．π D．π

5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=( )
A．27 B．81 C．243 D．729

6．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数( )
（1）f（x）的图象过点（0，）
（2）f（x）的一个对称中心是（）
（3）f（x）在[]上是减函数
（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．
A．4 B．3 C．2 D．1

7．若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．（﹣4，2） B．（﹣1，2） C．（﹣4，0） D．（﹣2，4）

8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )
（1）AC⊥BE．
（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为．
（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值．
（4）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．
（5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．

A．0 B．1 C．2 D．3

9．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为( )
A． B．4 C． D．9

10．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分）
11．平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|﹣2|=__________．

12．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为__________．

13．设正数a，b，c满足++≤，则=__________．

14．已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为__________．

(15，16为选做题，二选一即可)
15．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为__________．

16．直线l的参数方程是（其中t为参数），若原点O为极点，x正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是__________．

三、解答题（本大题共6小题，共75分）
17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．
（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；
（2）求AB边上的中线长的取值范围．

18．已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？

19．已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；
（Ⅱ）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；[来源:学|科|网]
（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．

21．（13分）如图，已知点A（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆O上的动点，PD⊥AB交AB于D，=λ，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值．
（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；
（2）一直线L过定点S（4，0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

22．（14分）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0）
（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）；
（3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（ln2014≈7.6079，ln2015≈7.6084）

2014-2015学年湖北省六校联考高三（上）1月调考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．设复数z满足，则 =( )
A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i

考点：复数代数形式的混合运算．
专题：计算题．
分析：先设出复数的代数形式，再由题意求出复数z，根据共轭复数的定义求出即可．
解答： 解：设z=a+bi（a、b∈R），由题意知，，
∴1+2i=ai﹣b，则a=2，b=﹣1，
∴z=2﹣i，=2+i，
故选C．
点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位i 的幂运算性质，共轭复数的概念，难度不大，属于基础题．

2．设集合P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是( )
A．2 B．3 C．7 D．8
[来源:Z#xx#k.Com]
考点：定积分的简单应用；子集与真子集．
专题：计算题．
分析：先根据定积分求出集合P，根据集合子集的公式2n（其中n为集合的元素），求出集合A的子集个数，然后除去空集即可得到集合A的非空真子集的个数．
解答： 解：∵P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，
∴P={2，3}
因为集合A中有2个元素，所以集合A子集有22=4个，则集合A的非空子集的个数是4﹣1=3．[来源:Zxxk.Com]
故选B．
点评：此题考查学生掌握子集与真子集的定义，会利用2n﹣1求集合的非空子集，是一道基础题．

3．下列结论正确的是( )
A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λ
B．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”
C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1
D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞0

考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：A．若，则不存在实数λ使得=2λ；
B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角；
C．利用逆否命题的定义即可判断出；
D．利用命题的否定即可判断出．
解答： 解：A．若向量∥，，则不存在实数λ使得=2λ，不正确；
B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角，不正确；
C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1，正确；
D．命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，不正确．
故选：C．
点评：本题考查了向量共线定理及其夹角公式、逆否命题的定义、命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．

4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )

A．36π B．9π C．π D．π

考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，求出底面外接圆半径和棱锥的高，进而利用勾股定理，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案．
解答： 解：∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，
故底面外接圆半径r=，
由主视图中棱锥的高h=1，
故棱锥的外接球半径R满足：R==，
故该几何体外接球的体积V==π，
故选：C
点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，进而求出外接球半径，是解答的关键．

5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=( )
A．27 B．81 C．243 D．729

考点：等比数列的性质．
专题：计算题．
分析：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 从而可求a2，结合S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）
考虑n=1可得，S2=a1+a2=4a1从而可得a1及公比 q，代入等比数列的通项公式可求a6
解答： 解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 即a2=3
因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）
所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3
所以，a6=1×35=243
故选C
点评：本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的前 n项和公式及通项公式，属基础题．

6．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数( )
（1）f（x）的图象过点（0，）
（2）f（x）的一个对称中心是（）
（3）f（x）在[]上是减函数
（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．
A．4 B．3 C．2 D．1
[来源:学,科,网]
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由函数的周期求出ω，再由图象关于直线x=对称结合φ的范围求得φ，则函数解析式可求．
①求得f（0）=说明命题①错误；
②由f（）=0说明命题②正确；
③求出原函数的减区间，由[]是一个减区间的子集说明命题③正确；
④通y=Asin（ωx+φ）图象的平移说明命题④错误．
解答： 解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的周期是π，
∴ω=2，
又图象关于直线x=对称，则2×φ=kπ+，即φ=，k∈Z．
∵﹣＜φ＜，
∴取k=1得φ=．
∴f（x）=3sin（2x+）．
①∵f（0）=3sin=．
∴f（x）的图象过点（0，）错误；
②∵f（）=3sin（2×+）=3sinπ=0．
∴f（x）的一个对称中心是（）正确；
③由，得：
．
取k=0，得．
∵[]⊆，
∴f（x）在[]上是减函数正确；
④∵φ=＞0，
∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+）是把y=3sinωx
向左平移个单位得到，
则f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=3sinωx的图象．
∴命题④错误．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了复合函数的单调性的求法，是中档题．

7．若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．（﹣4，2） B．（﹣1，2） C．（﹣4，0） D．（﹣2，4）

考点：简单线性规划．
专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．
分析：由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=﹣x+，相当于直线y=﹣x+的纵截距，由几何意义可得．
解答： 解：由题意作出其平面区域，

将z=ax+2y化为y=﹣x+，相当于直线y=﹣x+的纵截距，
则由目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值可知，
﹣1＜﹣＜2，
则﹣4＜a＜2，
故选A．
点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．

8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )
（1）AC⊥BE．
（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为．
（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值．
（4）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．
（5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．

A．0 B．1 C．2 D．3

考点：命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据题意，依次分析：如图可知BE⊂平面BB1D1D，AC⊥BE，进而判断出（1）正确；
根据AA1∥BB1，判断出AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，计算出A1到平面BEF的距离，即可判断出（2）项；
设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，可分别求得S△BEF和AO，则三棱锥A﹣BEF的体积可得判断（3）项正确；
再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定（4）和（5）项正确．
解答： 解：对于（1），∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE．故（1）正确．
对于（2），∵AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1DD1，BB1⊂平面BB1DD1，
∴AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，
又∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
A1到平面BEF的距离为A1到B1D1的距离，
∴若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为，故（2）正确；
对于（3），∵S△BEF==，
设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，AO=，
∴VA﹣BEF==，故（3）正确；
对于（4）在正方体中，AA1∥DD1，AD∥B1C1，
则AC，AA1，AD相交于A点，故空间中与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．
故（4）正确；
对于（5）由于过CC1的中点与直线AC1所成角为40°的直线有2条．
并且这两条直线与平面BEF所成角为50°，故（5）正确；
故答案为：A．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直，考查线面角、线线角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．

9．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为( )
A． B．4 C． D．9

考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出，由此能求出4e12+e22的最小值．
解答： 解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①
由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②
又∵PF1⊥PF2，
∴=4c2，③
①2+②2，得=，④
将④代入③，得，
∴4e12+==+
=
≥=．
故选：C．
点评：本题考查4e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．

10．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5

考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x•求导数判断，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，y=x﹣2﹣lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．
解答： 解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），
对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），
∴可得：＞，对于x＞1恒成立．
设h（x）=x•，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，
∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，
故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，
∴k的最大值为3．[来源:学科网ZXXK]
故选：B
点评：本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分）
11．平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|﹣2|=2．

考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意可得 =||•||•cos120°的值，再根据|﹣2|=，计算求得结果．
解答： 解：由题意可得 =||•||•cos120°=2×1×（﹣）=﹣1，
∴|﹣2|====2，
故答案为：．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．

12．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为．

考点：两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：求得sinβ和cosβ的值，根据已知条件判断出α+β的范围，进而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．
解答： 解：∵α，β∈（0，π），tanβ=，sin（α+β）=，
∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜，
∴0＜α+β＜，
∵0＜sin（α+β）=＜，
∴0＜α+β＜，或＜α+β＜π，
∵tanβ=＞1，
∴＞β＞，
∴＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=﹣=﹣，
∴sinα=sin（α+β﹣β）=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×+×=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．解题过程中判断出α+β的范围是解题的最重要的一步．

13．设正数a，b，c满足++≤，则=．

考点：不等式的基本性质．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用基本不等式的性质“取等号的条件”即可得出．
解答： 解：∵a，b，c为正数，
∴（a+b+c）=14+++
++=36．当且仅当a：b：c=1：2：3．
∵++≤，
∴++=，
∴==．
故答案为：．
点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

14．已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为21．

考点：数列的应用．
专题：等差数列与等比数列．
分析：p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1；第二次得：c2=（p+1）2（q+1）﹣1；所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，故可得结论．
解答： 解：因为p＞q＞0，所以第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1，[来源:Zxxk.Com]
因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）﹣1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）﹣1，
所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）﹣1=（p+1）3（q+1）2﹣1，
第四次可得：c4=（c3+1）（c2﹣1）﹣1=（p+1）5（q+1）3﹣1，
故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，
因为经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），
所以m=8，n=13，
所以m+n=21．
故答案为：21．
点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，求出经过6次操作后扩充所得的数是关键．

(15，16为选做题，二选一即可)
15．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4．

考点：与圆有关的比例线段．
专题：计算题．
分析：连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．
解答： 解：连接OC，BE，如下图所示：

则∵圆O的直径AB=8，BC=4，
∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°
又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l
又∵AD⊥直线l
∴AD∥OC
故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°
∴AE=AB=4
故答案为：4
点评：本题考查的知识点是切线的性质，圆周角定理，其中根据切线的性质，圆周角定理，判断出△ABE是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．

16．直线l的参数方程是（其中t为参数），若原点O为极点，x正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是2．

考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
专题：直线与圆．
分析：将圆的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离d，求出d，由勾股定理可求切线长的最小值．
解答： 解：∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），
∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，
∴x2+y2=x﹣y，即（x﹣）2+（y+）2=1，
∴圆C是以M（，﹣）为圆心，1为半径的圆…2分
化直线l的参数方程 （t为参数）为普通方程：x﹣y+4=0，…4分
∵圆心M（，﹣）到直线l的距离为d==5，…6分
要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心M（，﹣）到直线的距离d，
由勾股定理求得切线长的最小值为 ==2．
故答案为：2．
点评：本题考查圆的极坐标方程，直线的参数方程、直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共75分）
17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．
（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；
（2）求AB边上的中线长的取值范围．

考点：余弦定理；正弦定理．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A化简后，根据cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可；
（2）根据CD为AB边上的中线，得到=，两边平方并利用平面向量的数量积运算法则变形得到关系式，利用余弦定理列出关系式，将cosC与c的值代入得到关系式，代入计算即可确定出|CD|的范围．
解答： 解：（1）由sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC===，即C=，
∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，
∴sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0，即A=，此时S△ABC=；
当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，此时此时S△ABC=；
（2）∵=，
∴|CD|2==，
∵cosC=，c=2，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4，
∴|CD|2==＞1，且|CD|2=≤3，
则|CD|的范围为（1，]．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．

18．已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？

考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．
专题：计算题．
分析：（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求
（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项
解答： 解（I）当n=1时，
∴a1（λa1﹣2）=0
若取a1=0，则Sn=0，an=Sn﹣Sn﹣1=0
∴an=0（n≥1）
若a1≠0，则，当n≥2时，2an=，
两式相减可得，2an﹣2an﹣1=an
∴an=2an﹣1，从而可得数列{an}是等比数列
∴an=a1•2n﹣1==
综上可得，当a1=0时，an=0，当a1≠0时，
（II）当a1＞0且λ=100时，令
由（I）可知
∴{bn}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2
∴b1＞b2＞…＞b6=＞0
当n≥7时，
∴数列的前6项和最大
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．

19．已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；
（Ⅱ）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．

考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
分析：（1）利用导数研究函数的单调区间的方法步骤求解f（x）的单调区间和值域．
（2）在a≤﹣1，x∈[0，1]的条件下，判断g（x）的单调性，进而求解g（x）的值域，依题意得f（x）的值域是g（x）值域的子集，列出关于a的不等式组，解出a的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）
令f'（x）=0
解得：（舍去）
列表：
可知f（x）的单调减区间是，增区间是；
因为，
所以当x∈[0，1]时，f（x）的值域为
（Ⅱ）g′（x）=3（x2﹣a2）
因为a≤﹣1，x∈（0，1）
所以g′（x）＜0，g（x）为[0，1]上的减函数，g（1）≤g（x）≤g（0）
所以g（x）∈[1﹣4a﹣3a2，﹣4a]
因为当x∈[0，1]时，f（x）的值域为
由题意知：
所以
又a≤﹣1，得．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、值域等函数知识，对于（2）解答的关键是，f（x）的值域是g（x）的值域的子集，在学习中，同学们应熟练掌握这一方法，本题是一道好题，属于教学中的重点和难点．

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．

考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
专题：综合题．
分析：（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．
法二：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．
解答： 解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …
证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．
∵PA=PD，∴PQ⊥AD．
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．
∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…
（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为；
Q（0，0，0），，，．
设M（x，y，z），则，，
∵，
∴，∴…
在平面MBQ中，，，
∴平面MBQ法向量为．…（13分）
∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，
∴，
∴t=3．…

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．

21．（13分）如图，已知点A（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆O上的动点，PD⊥AB交AB于D，=λ，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值．
（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；
（2）一直线L过定点S（4，0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

考点：直线和圆的方程的应用．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）根据，|CM|+|CN|为定值，建立条件关系即可求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；
（2）根据直线和椭圆的位置关系，转化为一元二次方程问题即可．
解答： 解：（1）易得B（2，0），M（﹣1，0），N（1，0），
设P（x0，y0），C（x，y），
则E（x0，），
直线PA与BE交于C，
故x≠±2，①
且，②
①②相乘得，
又因为点P（异于A，B）是圆O上的动点，故，
即，要使|CM|+|CN|为定值，
则4﹣，
解得，
此时，（x≠±2），
即时，点C的轨迹曲线E的方程为，（x≠±2），
（2）联立，消x得（3m2+4）y2+24my+36=0，
判别式△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4
设Q（x1，y1），R（x2，y2，则Q′（x1，﹣y1），
由韦达定理有
直线RQ的方程为y=，
令y=0，得x===
将①②代人上式得x=1，
又==
==
当时取得．
点评：本题主要考查直线和圆以及直线和圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算能力．

22．（14分）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0）
（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）；
（3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（ln2014≈7.6079，ln2015≈7.6084）

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
分析：（1）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；
（2）由（1）可知a≥时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论；
（3）运用（2）的结论和S=1+++…+＜1×2++…+×28=9，即可得到整数部分．
解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax++（1﹣2a），
f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g（x）min≥0，
又∵g′（x）=a﹣﹣=，[来源:Z#xx#k.Com]
而当=1，即a=时，
①当≤1即a时，
g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g（x）min=g（1）=0≥0；
②当＞1即0＜a＜时，
g′（x）=0时x=；
且1≤x＜时，g′（x）＜0，[来源:学科网]
当x＞时，g′（x）＞0；
则g（x）min=g（）≥0①，
又∵g（）≤g（1）=2a﹣1＜0与①矛盾，不符题意，故舍．
∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．

（2）证明：由（1）可知a时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
则当a=时，（x﹣）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
令x依次取，，，…，时，
则有 ×（ ﹣）≥ln ，×（ ﹣）≥ln ，
…×（ ﹣）≥ln ，
由同向不等式可加性可得
[（ +