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(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“a<b”是使“cosA>cosB”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a<b⇔A<B⇔cosA>cosB.
答案：C
2．△ABC中，a＝，b＝，sinB＝，则符合条件的三角形有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
解析：∵asinB＝，∴asinB<b＝<a＝，
∴符合条件的三角形有2个．
答案：B
3．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )
A．2 B．8
C. D.
解析：∵＝＝＝2R＝8，∴sinC＝，
∴S△ABC＝absinC＝abc＝×16＝.
答案：C
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：设等腰三角形的底边为a，顶角为θ，则腰长为2a.
由余弦定理得cosθ＝＝.
答案：D
5．(2010·惠州模拟)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为( )
A. B.
C.或 D.或
解析：∵＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝，∴sinB＝.
答案：D
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则( )
A．a>b B．a<b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
解析：法一由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，b2＋ab－a2＝0，
即()2＋－1＝0，＝<1，
故b<a.
法二：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，
b2＋ab－a2＝0，b＝，
由a<a＋b得b<a.
答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．在△ABC中，若a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝__________.
解析：∵cosC＝，∴sinC＝ ＝，
又S△ABC＝4，即absinC＝4，∴b＝2.
答案：2
8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c) cosA＝acosC，则cosA＝________.
解析：由正弦定理得
(sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，
化简得sinBcosA＝sin(A＋C)．
∵0<sinB≤1，∴cosA＝.
答案：
9．(2010·新课标全国卷)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________.
解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，
又因为AD＝2，所以S△ADC＝AD·DCsin60°＝3－，
所以DC＝2(－1)，
又因为BD＝DC，所以BD＝－1，过A点作AE⊥BC于E点，
则S△ADC＝DC·AE＝3－，
所以AE＝，又在直角三角形AED中，DE＝1，
所以BE＝，在直角三角形ABE中，BE＝AE，
所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，
在直角三角形AEC中，EC＝2－3，
所以tan∠ACE＝＝＝2＋，
所以∠ACE＝75°，
所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.
答案：60°
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小，并判断△ABC的形状．
解：法一：∵2cos2B－8cosB＋5＝0，
∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.
∴4cos2B－8cosB＋3＝0，
即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.
解得cosB＝或cosB＝(舍去)．
∵0<B<π，∴B＝.
∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
∴cosB＝＝＝，
化简得a2＋c2－2ac＝0，解得a＝c.
∴△ABC是等边三角形．
法二：∵2cos2B－8cosB＋5＝0，
∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.
∴4cos2B－8cosB＋3＝0.
即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.
解得cosB＝或cosB＝(舍去)．
∵0<B<π，∴B＝.
∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB＝2sin＝.
∴sinA＋sin(－A)＝，
∴sinA＋sincosA－cossinA＝.
化简得sinA＋cosA＝，∴sin(A＋)＝1.
∵0<A<π，∴A＋＝.
∴A＝，C＝.
∴△ABC是等边三角形．
11．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且atanB＝，bsinA＝4.
(1)求cosB和a；
(2)若△ABC的面积S＝10，求cos4C的值．
解：(1)由bsinA＝4，得asinB＝4，
又atanB＝，∴cosB＝.
又由atanB＝知tanB>0，
则sinB＝，tanB＝，故a＝5.
(2)由S＝acsinB，得c＝5，∴A＝C.
由cos4C＝2cos22C－1＝2cos2(A＋C)－1＝2cos2B－1
＝2×()2－1＝－.
12．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．
解：(1)由acosC＋c＝b和正弦定理得，
sinAcosC＋sinC＝sinB，
又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，
∴sinC＝cosAsinC，
∵sinC≠0，∴cosA＝，
∵0<A<π，∴A＝.
(2)由正弦定理得，b＝＝sinB，c＝＝sinC，
则l＝a＋b＋c＝1＋(sinB＋sinC)
＝1＋[sinB＋sin(A＋B)]
＝1＋2(sinB＋cosB)＝1＋2sin(B＋)．
∵A＝，∴B∈(0，)，∴B＋∈(，)，
∴sin(B＋)∈(，1]，
∴△ABC的周长l的取值范围为(2,3]．
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