数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等).doc

考点4 数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等）1（2015江苏苏州市高三上调考）已知数列 共有2k项（2k且kN*），数列 的前n项的和为，满足=2， =（p1）+2（n=1，2，3，2n1），其中常数p1（1）求证：数列 是等比数列；（2）若p=，数列 满足（）（n=1，2，2n），求数列 的通项公式（3）对于（2）中的数列 ，记，求数列 的前2k项的和【考点】数列的求和；数列的应用 【解】（1）证明：当n=1时， =2p，则，当2n时，即，故数列 是等比数列（2）由（1），得（n=1，2，2n），=，（n=1，2，2n），即数列bn的通项公式为，（n=1，2，2n）（3），设，解得n，又n为正整数，于是：当nk时，；当nk+1时，数列 的前2k项的和：2（2015江苏高考冲刺压轴卷（三）设数列 的前n项和记为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列 的前n项和记为，求证：.【考点】错位相减法求和【解】（1）当n=1时，当n2时，故，（2），其中，当n2时，得，由于，3（2015江苏高考冲刺压轴卷（三）已知数列中，二次函数的对称轴为x=，（1）试证明是等差数列，并求的通项公式；（2）设的前n项和为，试求使得成立的n的值，并说明理由 【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和【解】（1） 二次函数的对称轴为x=，0，整理得， 左右两边同时乘以，得，即 (常数)，是以2为首项，2为公差的等差数列， （2） ， ， -得：，整理得 ， 数列 是单调递增数列 要使成立，即使，整理得n+2， n=1，2，3 4（2015江苏省南京市高三考前综合）公差不为零的等差数列 的前n项之和为，且对n成立（1）求常数k的值以及数列的通项公式；（2）设数列中的部分项，恰成等比数列，其中2，,14，求的值【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法【解】（1）法一：条件化为对n成立 设等差数列公差为d，则 分别令n1，2，3得： 由2得，两边平方得， 两边再平方得，解得d2代入得，由得，所以0，或1又当0时，d0不合题意所以1，d2代入得k1而当k1，1，d2时，等式对n成立所以k1，法二：设等差数列的首项为，公差为d，则，代入得，即因为上面等式对一切正整数n都成立，所以由多项式恒等可得，因为d0，所以解得，所以常数k1，通项公式（2）设，则数列为等比数列，且故等比数列的公比q满足又0，所以q3所以又，所以由此可得所以所以法一：令，则，两式相减得:，,代入得法二：因为所以代入得.5(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知是等差数列，其前n项的和为，是等比数列，且，.(1)求数列和的通项公式；(2)记，求数列的前n项和.【考点】数列的求和，数列递推式. 【解】(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.由，得=2+3d，由条件，得方程组解得所以.(2)由题意知，.记.则=，所以，.6. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知为等比数列，其中=1，且成等差数列（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前n项和【考点】数列的求和；等比数列的通项公式 【解】（1）设在等比数列中，公比为q，且成等差数列，解得q=，（2），得：，7等差数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前10项的和为_【答案】75【分析】因为，所以的前10项和为10375.8已知函数，且，则等于_【答案】100【分析】由题意，得.9数列，共有十项，且其和为240，则的值为_【答案】130【分析】240(22k20)240240110130.10(2015泰州质检)已知数列满足，则_.【答案】【分析】，又.2.，成等比数列；，成等比数列，.11已知数列：，若，那么数列的前n项和为_【答案】【分析】，.12(2015扬州测试)在数列中，记为的前n项和，则_.【答案】1005【分析】由，可得，,该数列是周期为4的数列，所以.13(2014济南模拟)设等差数列的前n项和为，且，.(1)求，；(2)设，求.【解】(1)因为，所以，又因为，所以.解得d8，所以，.(2)，所以.14(2015石家庄模拟)已知是各项均为正数的等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求数列的前n项和【解】(1)设等比数列的公比为q，由已知得，又，解得，.(2)由得，当时，当n1时，符合上式，.，两式相减得，.15数列满足，则的前60项和为_【答案】1830【分析】，.16在等比数列中，若数列满足，则数列的前n项和_.【答案】【分析】设等比数列的公比为q，则，解得q3.所以，故，所以.则数列的前n项和为.17(2015南京模拟)数列满足，且，是数列的前n项和，则_.【答案】6【分析】依题意得，则，即数列中的奇数项、偶数项分别相等，则，.18(2015长沙模拟)已知函数，且，则_.【答案】100【分析】若n为偶数，则，为首项为，公差为的等差数列；若n为奇数，则，为首项为，公差为4的等差数列所以.19设，利用倒序相加法，可求得的值为_【答案】5【分析】当时，.设S，倒序相加有2S，即S5.20在数列中，记，若对于任意，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和【解】(1)根据题意A(n)，B(n)，C(n)成等差数列，A(n)C(n)2B(n)，整理得，数列是首项为5，公差为3的等差数列，.(2)，记数列的前n项和为.当时，；当时，综上，.21. (2014广州综测)已知等差数列的前n项和为，且，成等比数列(1)求p，q的值；(2)若数列满足，求数列的前n项和.【解】(1)当n1时，当时，.是等差数列，1pq211p，得q0.又，成等比数列，即，解得p1.(2)由(1)得.，.，得.