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数列求和

★ 知 识 梳 理 ★
1.基本数列的前项和
⑴ 等差数列的前项和：
⑵ 等比数列的前项和：
①当时，；②当时，；
⑶ 基本数列的前项和：.
2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.；分类讨论。

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：掌握由数列通项公式求数列的前项之和的方法；
2.难点：利用裂项相消法、错位相减法求数列的前项之和.
3.重难点：灵活选择数列求和的方法，注意裂项相消法求和中项数及项的处理.
⑴抓住等差，等比数列的项的性质，整体代值可简化解题过程.
问题1：⑴已知为等比数列的前项和，公比，
则 ；
⑵等差数列中，公差，且，
则 .
分析：利用（或转化为）等差、数列等比前项和公式是最基本的方法；⑴要求前99项中序号为3的倍数项的和可进行整体考虑；⑵把当作一个整体考虑.
解析：⑴
，
⑵，且，

⑵裂项相消法求和中注意项数及项的处理.
问题2：数列的前项和
分析：此数列的第项应为（注意不是？），裂项求和时注意项数.
解析：此数列的第项，
数列的前项和

·

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点 已知数列的通项公式，求数列前n项之和
题型1 公式法、性质法求和
【例1】（1）.等比数列中从第5项到第10项的和.
（2）.已知等比数列中，为的两个根，则 .

（1）【解析】由，得，
，，
（2）【解析】由已知得，，，.

练习：⑴等比数列中的第5项到第10项的和为：
⑵等差数列的前项和为18，前项为和28，则前项和为

题型2 拆项分组法求和
【例2】求数列的前项和.
【解题思路】根据通项公式，通过观察、分析、研究，可以分解通项公式中的对应项，达到求和的目的.
【解析】

.
【名师指引】若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数列通项公式分解，分别求和，最终达到求和目的.
练习：（1）.求数列的前项和.
(2)已知为等比数列前项和，，求
，

题型3 裂项相消法求和
【例3】求和：.
【解题思路】观察通项公式的特点，发现.
【解析】
原式.
【名师指引】数列的常见拆项有：；；
；.
练习：⑴ 求和：；
⑵ 求和：；
⑶ 求和：

题型4错位相减法求和
【例4】若数列的通项，求此数列的前项和.
【解题思路】利用等比数列前项和公式的推导方法求和，一般可解决形如一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题.
【解析】， ①
②
①-②，得

.
.
【名师指引】若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法.
练习：(1)已知为等比数列前项和，，求.
(2)求数列的前项和.

题型5 倒序相加法求和
【例5】设，求：
⑴；
⑵
【解题思路】观察及的特点，发现.
【解析】，.
⑴
⑵原式.

题型6 分类讨论法求和
【例6】已知为等差数列的前项和，.
⑴求；
⑵求；
⑶求.
【解题思路】利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.
【解析】.，
当时，，
当时，，
当时，， .
由，得，当时，；当时，.
⑴；
⑵
；
⑶当时，，
当时，

.

巩固训练
1.数列中，，则数列的前项的绝对值之和为( )

2.的结果为( )

3.在项数为的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和的比是( )

4.数列中，，若的前项和为，则项数为( )

5.的结果为 .
6.数列中，，则数列的前项和为 .
，，
7.数列中，，则数列的前项和为 .

1.【解析】C.，，所求绝对值之和为

2.【解析】C.用错位相减法
3.
【解析】A.利用等差数列的性质
4.【解析】B. ，，
5.【解析】 ，用裂项相消法.
6.【解析】 由，得，
7.【解析】

用心 爱心 专心