专题：数列及其数列求和.doc

专题：数列及其数列求和一、基本知识1定义：(1) .数列：按一定次序排序的一列数(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列2 通项公式与前n项和公式为等差数列： 为等比数列： （q3 常用性质为等差数列，则有（1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，（n1）（2）（3） 若m+n = p+q , 则：，特殊的：若m+n=2r ,则有：（4） 若则有：（5） 若（6） 为等差数列为常数)（7） 仍成等差数列（8）为等差数列，则为等差数列（p，q为常数）（9）若项数为偶数2n，若项数奇数2n1，（10）为等比数列，则有（1） 只有同号的两数才存在等比中项（2）（3） 若m+n = p+q , 则：，特殊的：若m+n=2r ,则有：（4） 为等比数列，则， ，为等比数列（）（5） 等比数列中连续n项之积构成的新数列仍是等比数列，当时，连续项之和仍为等比数列（6）二、在数列中常见问题：1、等差数列的通项公式是关于n的一次函数，（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：2、等差数列当首项a10且公差d0时(递减数列)，前n项和存在最大值。利用确定n值，即可求得sn的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。等差数列当首项a10时（递增数列），前n项和存在最小值。3、遇到数列前n项和Sn与通项an的关系的问题应利用4、满足的数列，求通项用累加（消项）法，如：已知数列an中，a1=1,an+1=an+2n, 求an ；满足的数列，求通项用累乘（消项）法，如：已知数列an中，a1=1,an+1=an, 求an ； 三、数列求和的常用方法：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和 等差数列：；等比数列： ； (2)分组求和：如：求1+1,的前n项和可进行分组即：前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和（注：） (3)裂项法：如 ，求Sn ，常用的裂项，； (4)错位相减法：其特点是cn=anbn 其中an是等差，bn是等比 如：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+(2n1)xn1 注意讨论x， (5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+(2n1) Cnn=(n+1)2n 错位相减法：例1 求和例2 求数例1，3a，5a2，7a3，(2n1)an-1，(a1)的前n项和解：因 Sn=13a5a27a3(2n1)an-1， (1) (1)a得aSn=a3a25a3(2n3)an-1(2n1)an，（2）两式相减得 (1a)Sn=12a2a22a32an-1(2n1)an =2(1aa2a3an-1)(2n1)an-1 =所以:例3已知数列的首项，（）证明：数列是等比数列；（）数列的前项和解：（） ， ， 又， 数列是以为首项，为公比的等比数列（）由（）知，即，设， 则，由得 ，又数列的前项和 例4：已知数列an是等差数列，且a1=2，a1+ a2+ a3=12，令bn= anxn(xR)，求数列bn的前n项和公式。裂项相消法：例1 求和：解：， 例2：数列an通项公式是，若前n项的和为10，求项数。例3：求和分部求和法：例1 已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求解：首先由则例2已知数列的通项公式为，求其前n项和Sn例3：1，1+2，1+2+3，1+2+3+n；例4：倒序相加法：例1 sin21+ sin22+ sin23+ sin288+ sin289的值例2 设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：解：因为 （1） （2）（1）+（2）得 例3设，利用课本推导等差数列的前n项和公式的方法，可求得f(-5)+ f(-4)+ f(5)+ f(6)4