数列求和专题含答案.doc

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数列求和
一、利用常用求和公式求和
1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：
[例1] 已知，求的前n项和.
解：由
由等比数列求和公式得： = ＝＝1－
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：………………………①
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积：设…②（设制错位）
①－②得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。∴
[例4] 求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
…………② ①－②得 ∴

三、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得（分组）
当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝
四、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） （2）
（3）
（4）
[例9] 求数列的前n项和.
解：设，则
＝
[例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
解： 　 ∵ ∴ 数列{bn}的前n项和：
＝ ＝
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若的值。
解：设
由等比数列的性质 和对数的运算性质 得：
＝＝＝10
五、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
[例15] 求之和.解：由于
∴ ＝ ＝＝＝

数列求和练习
1、（东莞市2015届高三）数列的前n项和为，数列是
首项为a1，公差不为零的等差数列，且成等比数列．
（1）求的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求证：

2（惠州市2015届高三）已知递增等差数列中的是函数
的两个零点．数列满足，点在直线
上，其中是数列的前项和．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．

3、已知等比数列的前项和为，，
，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
设数列满足，求适合方程
的正整数的值．

4、（要用放缩法）已知数列的前项和为,若
(),且.
(Ⅰ) 求证：数列为等差数列；
(Ⅱ) 设,数列的前项和为,证明:().

数列求和练习答案
1、（东莞市2015届高三）数列的前n项和为，数列是
首项为a1，公差不为零的等差数列，且成等比数列．
（1）求的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求证：
解：（1）∵，
∴当时，，解得；当时，，解得；
当时，，解得． …………3分
（2）当时，， ……5分
得又，，
∴数列{}是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以数列{}的通项公式为． ………………7分
，设公差为，则由成等比数列，得， 解得（舍去）或， 所以数列的通项公式为．
（3）令，
， ………………11分
两式式相减得，
∴， 又，故．

2（惠州市2015届高三）已知递增等差数列中的是函数
的两个零点．数列满足，点在直线
上，其中是数列的前项和．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
【解析】（1）因为，是函数的两个零点，则
，解得：或.………………………………………………..2分
又等差数列递增，则，所以 …………………………….4分
因为点在直线上，则。
当时，，即.………………………………………………….5分
当时， ，即.………………..…6分
所以数列为首项为，公比为的等比数列，即.…………….…7分
(2)由（1）知：且， …………………………………...…8分
则 ……………………………………………………...9分
所以①
② . ……………………10分
①-②得： .………12分
所以. 或写 . ……………………14分

3、已知等比数列的前项和为，，
，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
设数列满足，求适合方程
的正整数的值．

1、解：（1）设数列的公比为，由，得．
由，，成等差数列，
故，所以，
得，故．…………………...………..2分
解得，或（舍）．………………………….….………4分
所以；……………………………6分
（2）由（1）得，
故，………………………………8分
所以．…………………..………………9分
．…………..……………11分

由题意得．.………………………..…………. ……13分
解得，
满足题意得．…………………………..…………. ……14分

4、（要用放缩法）
(Ⅰ) 由题设,则，.
当时，,
两式相减得, ……………………………………2分
方法一：由，得，且.
则数列是常数列，即，也即 ……………………………6分
所以数列是首项为,公差为的等差数列 …………7分
方法二：由，得，
两式相减得,且 ………6
所以数列等差数列. …………………………7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得,,,…………9分
当时,成立；…………………………………………………10分
当时,…………12分
所以

综上所述,命题得证.…………………………………………14分

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