专题数列求和讲义.doc

专题：数列求和
（一）主要知识：
1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：
（2）等比数列的求和公式Sn＝（切记：公比含字母时一定要讨论）
2．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.
3．倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．
4．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的．
若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令，则两式错位相减并整理即得.
5．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法
（1），特别地当时，；
（2），特别地当时，；
（3）
（4）（5）
6．分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.
7．并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．例如，.
.[易错提示]　利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：
(1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数；
(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．
应用错位相减法求和时需注意：①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；
②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.
主要方法：
1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；
2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；
3．转化思想的运用；
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．利例1.【2016北京文15】已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
（2）由（1）知，，.因此.
从而数列的前项和
.
已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n，
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
,
练习．求和：①②
思路分析：通过分组，直接用公式求和。
解：①
②
（1）当时，
（2）当
错位相减法求和的具体步骤
步骤1→写出Sn＝c1＋c2＋…＋cn；
步骤2→等式两边同乘以等比数列的公比q，即qSn＝qc1＋qc2＋…＋qcn；
步骤3→两式错位相减转化成等比数列求和；
步骤4→两边同除以1－q，求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论．
2(2015·山东，18，12分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.
【解析】　(1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，
当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，
此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，
即an＝3n－1，所以an＝
(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，
当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n，所以T1＝b1＝；
当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，
所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]，
两式相减，得
2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n
＝＋－(n－1)×31－n＝－，
所以Tn＝－.
经检验，n＝1时也适合．
综上可得Tn＝－.
(2015·湖北，18，12分)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)由题意有
即
解得或
故或
(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是
Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋＋＋…＋，②
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－
＝3－，
故Tn＝6－.
用裂项法求和的裂项原则及规律
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
例3.求和
解:
【1-2】设为等差数列的前项和，已知，．　
（1）求的通项公式；
（2）令，，若对一切成立，求实数的最小值．
【答案】（1）（）；（2）5．
【解析】试题分析：（1）根据等差数列的通项公式，前n项和公式，列方程组求解即可；（2）采用裂项相消的方法求和，分析单调性即可求参数的范围.
试题解析：（1）∵等差数列中，，，
∴解得
∴，
∴（）．
（2）∵，
∴，
∵随着增大而增大，
∴是递增数列，又，∴，
(2015·安徽文，18，12分)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8，
又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．
由a4＝a1q3得公比q＝2，
故an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)Sn＝＝2n－1.
又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋＋…＋
＝－＝1－.,
巩固练习：
1．求下列数列的前项和：
（1）5，55，555，5555，…，，…；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）．
解：（1）
．
（2）∵，
∴．
（3）∵
∴
．
（4），
当时，…，
当时，…，
…，
两式相减得…，
∴．
（5）∵，
∴原式……．
（6）设，
又∵，
∴，．
2．已知数列的通项，求其前项和．
解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，
偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；
当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，
∴，
当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，
∴，
所以，．
1．(2012·大纲全国，5，易)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)
A.B.C.D.
1．A　[考向3]由S5＝5a3及S5＝15得a3＝3，
∴d＝＝1，a1＝1，∴an＝n，＝＝－，所以数列的前100项和T100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选A.
2．(2015·江苏，11，中)设数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．
2．[考向3]【解析】　a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，
以上n－1个式子相加得，
an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，
∵a1＝1，
∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
∴＝＝2，
∴S10＝2
＝2＝.
【答案】　
4．(2016·山东，18，12分，中)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
4．[考向2]解：(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
当n＝1时，a1＝S1＝11，
所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d.
由即
解得b1＝4，d＝3.
所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)·2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)·2n＋2]，
两式作差，得
－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)·2n＋2]
＝3×
＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2.
6．(2015·四川，16，12分，中)设数列{an}(n＝1，2，3…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值．
6．[考向1]解：(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，所以q＝2.
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，
又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)．
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故an＝2n.
(2)由(1)得＝.
所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.
由|Tn－1|＜，得＜，即2n＞1000.
因为29＝512＜1000＜1024＝210，
所以n≥10.
于是使|Tn－1|＜成立的n的最小值为10.
1．(2015·山东青岛模拟，5)数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为(　　)
A．120B．99C．11D．121
1．A　[考向3]因为an＝
＝
＝－，
所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.
即＝11，所以n＋1＝121，n＝120.
2．(2016·山西大同模拟，12)已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝(　　)
A．－30B．－60C．90D．120
2．D　[考向1]由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，
∴S60＝8×15＝120.
4．(2016·河南郑州一模，18，12分)已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
4．[考向3]解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意知d>0，
因为a3，a4＋，a11成等比数列，所以＝a3a11，所以＝(1＋2d)(1＋10d)，
即44d2－36d－45＝0，所以d＝，所以an＝.
(2)bn＝＝＝，
所以Tn＝＝.
5．(2016·山东临沂模拟，18，12分)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Sn.
5．[考向1]解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d＝＝＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n∈N*)．
设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得
q3＝＝＝8，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.
从而bn＝an＋2n－1＝3n＋2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n∈N*)．
所以Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＋(1＋2＋22＋…＋2n－1)
＝3·＋
＝n(n＋1)＋2n－1.
所以数列{bn}的前n项和为Sn＝n(n＋1)＋2n－1.
187．（2012·湖北高考理）已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，
由题意得
解得或
所以由等差数列通项公式可得
an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故an＝－3n＋5或an＝3n－7.
(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；
当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
故|an|＝|3n－7|＝
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；
当n≥3时，
Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝n2－n＋10.当n＝2时，满足此式．
综上，Sn＝