高等数学教案4-1.DOC

§4．1 不定积分的概念与性质
第四章 不定积分
§4. 1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一xÎI, 都有
F ¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.
例如 因为(sin x)¢=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.
又如当x Î(1, +¥)时,
因为, 所以是的原函数.
提问:
cos x和还有其它原函数吗？
原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x ÎI 都有
F ¢(x)=f(x).
简单地说就是: 连续函数一定有原函数.
两点说明:
第一, 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数, F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数.
第二, f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则
F(x)-F(x)=C (C为某个常数).
定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作
.
其中记号称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量.
根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即
.
因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数.
例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以
.
因为是的原函数, 所以
.

例2. 求函数的不定积分.
解：当x>0时, (ln x)¢,
(x>0);
当x<0时, [ln(-x)]¢,
(x<0).
合并上面两式, 得到
(x¹0).
例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解 设所求的曲线方程为y=f(x), 按题设, 曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为y¢=f ¢(x)=2x,
,
即f(x)是2x 的一个原函数.
因为 ,
故必有某个常数C使f(x)=x 2+C, 即曲线方程为y=x 2+C.
因所求曲线通过点(1, 2), 故
2=1+C, C=1.
于是所求曲线方程为y=x2+1.
积分曲线: 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.
从不定积分的定义, 即可知下述关系:
,
或 ;
又由于F(x)是F ¢(x)的原函数, 所以
,
或记作 .
由此可见, 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号表示）是互逆的. 当记号与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数.
二、基本积分表
(1)(k是常数),
(2),
(3),
(4),
(5),
(6),
(7),
(8),
(9),
(10),
(11),
(12),
(13),
(14),
(15).
例4 .
例5 .
例6 .
三、不定积分的性质
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即
.
这是因为, =f(x)+g(x).
性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即
(k是常数, k ¹0).
例7.

.
例8
.
例9 .
例10 .
例11
.
例12

.
例13
= tan x - x + C .
例14
.
例15 .

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