高等数学教案4-1.DOC

41 不定积分的概念与性质 第四章 不定积分 4. 1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一xI, 都有F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. 例如 因为(sin x)=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x (1, +)时, 因为, 所以是的原函数. 提问: cos x和还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x I 都有F (x)=f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数, F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数. 第二, f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则F(x)-F(x)=C (C为某个常数). 定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 . 其中记号称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即. 因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 . 因为是的原函数, 所以 . 例2. 求函数的不定积分. 解：当x0时, (ln x), (x0); 当x0时, ln(-x), (x0). 合并上面两式, 得到 (x0). 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为y=f(x), 按题设, 曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为y=f (x)=2x, , 即f(x)是2x 的一个原函数. 因为 , 故必有某个常数C使f(x)=x 2+C, 即曲线方程为y=x 2+C. 因所求曲线通过点(1, 2), 故2=1+C, C=1. 于是所求曲线方程为y=x2+1. 积分曲线: 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 从不定积分的定义, 即可知下述关系: , 或 ; 又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以 , 或记作 . 由此可见, 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号表示）是互逆的. 当记号与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数. 二、基本积分表(1)(k是常数), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15). 例4 . 例5 . 例6 . 三、不定积分的性质 性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即 . 这是因为, =f(x)+g(x). 性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即 (k是常数, k 0). 例7. . 例8 . 例9 . 例10 . 例11 . 例12 . 例13 = tan x - x + C . 例14 . 例15 . 5