高等数学教案4-2.DOC

41 不定积分的概念与性质 4. 2 换元积分法 一、第一类换元法 设f(u)有原函数F(u), u=j(x), 且j(x)可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有d Fj(x) =d F(u)=F (u)d u= F j(x) dj(x)= F j(x) j(x)d x ,所以 F j(x)j(x)dx= F j(x) dj(x)= F (u)d u= d F(u)=d Fj(x) , 因此 .即 =F(u) +C u = j(x) = Fj(x)+C. 定理1 设f(u)具有原函数, u=j(x)可导, 则有换元公式 . 被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待, 从而微分等式j(x)dx =du可以应用到被积表达式中. 在求积分时, 如果函数g(x)可以化为g(x)= fj(x)j(x)的形式, 那么. 例1. =sin 2x+C . 例2. . 例3. . 例4. . 例5. =-ln|cos x|+C . 即 . 类似地可得. 熟练之后, 变量代换就不必再写出了. 例6. . 即 . 例7. . 例8. 当a0时, . 即 . 例9. . 即 . 例10. . 例11. . 含三角函数的积分: 例12. . 例13. . 例14. . 例15. . 例16. . 例17. =ln |csc x -cot x |+C . 即 =ln |csc x -cot x |+C . 例18. =ln |sec x + tan x | + C. 即 =ln |sec x + tan x | + C. 二、第二类换元法 定理2 设x =j(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f j(t)j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式.其中t=j-1(x)是x=j(t)的反函数. 这是因为 . 例19. 求(a0). 解: 设x=a sin t , , 那么, dx =a cos t d t , 于是 . 因为, , 所以. 解: 设x=a sin t , , 那么 . 提示:, dx=acos tdt .提示: , . 例20. 求(a0). 解法一: 设x=a tan t, , 那么=a sec t , dx=a sec 2t d t , 于是= ln |sec t + tan t |+C . 因为, , 所以= ln |sec t + tan t |+C, 其中C 1=C-ln a . 解法一: 设x=a tan t, , 那么 =ln|sect+tant|+C , 其中C 1=C-ln a . 提示:=asect , dx=a sec 2t dt , 提示:, . 解法二: 设x=a sh t , 那么 ,其中C 1=C-ln a . 提示: =a ch t , dx =a ch t d t . 例23. 求(a0). 解: 当xa 时, 设x=a sec t (), 那么=a tan t , 于是= ln |sec t + tan t |+C . 因为, , 所以= ln |sec t + tan t |+C , 其中C 1=C-ln a . 当xa, 于是 , 其中C 1=C-2ln a . 综合起来有. 解: 当xa 时, 设x=a sec t (), 那么 ,其中C 1=C-ln a . 当xa, 于是 , 其中C 1=C-2ln a . 提示:=atant .提示:, . 综合起来有 . 补充公式: (16),(17),(18),(19),(20),(21),(22),(23), (24). 8