高等数学教案4-2.DOC

§4．1 不定积分的概念与性质
§4. 2 换元积分法
一、第一类换元法
设f(u)有原函数F(u), u=j(x), 且j(x)可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有
d F[j(x) ]=d F(u)=F ¢(u)d u= F¢ [j(x) ] dj(x)= F ¢[j(x) ]j¢(x)d x ,
所以 F ¢[j(x)]j¢(x)dx= F ¢[j(x)] dj(x)= F ¢(u)d u= d F(u)=d F[j(x) ],
因此
.
即
=[F(u) +C] u = j(x) = F[j(x)]+C.
定理1 设f(u)具有原函数, u=j(x)可导, 则有换元公式
.
被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待, 从而微分等式j¢(x)dx =du可以应用到被积表达式中.
在求积分时, 如果函数g(x)可以化为g(x)= f[j(x)]j¢(x)的形式, 那么
.
例1.
=sin 2x+C .
例2.
.
例3.
.
例4.

.
例5.

=-ln|cos x|+C .
即 .
类似地可得.
熟练之后, 变量代换就不必再写出了.
例6.
.
即 .
例7. .
例8. 当a>0时,
.
即 .
例9.

.
即 .
例10.
.
例11.
.
含三角函数的积分:
例12.
.
例13.

.
例14.
.
例15.

.
例16.
.
例17.
=ln |csc x -cot x |+C .
即 =ln |csc x -cot x |+C .
例18.
=ln |sec x + tan x | + C.
即 =ln |sec x + tan x | + C.

二、第二类换元法
定理2 设x =j(t)是单调的、可导的函数, 并且j¢(t)¹0. 又设f [j(t)]j¢t)具有原函数F(t), 则有换元公式
.
其中t=j-1(x)是x=j(t)的反函数.
这是因为
.
例19. 求(a>0).
解: 设x=a sin t , , 那么,
dx =a cos t d t , 于是

.
因为, , 所以
.

解: 设x=a sin t , , 那么

.
提示:, dx=acos tdt .
提示: , .

例20. 求(a>0).
解法一: 设x=a tan t, , 那么
=a sec t , dx=a sec 2t d t , 于是
= ln |sec t + tan t |+C .
因为, , 所以
= ln |sec t + tan t |+C,
其中C 1=C-ln a .

解法一: 设x=a tan t, , 那么
=ln|sect+tant|+C
,
其中C 1=C-ln a .

提示:=asect , dx=a sec 2t dt ,
提示:, .

解法二: 设x=a sh t 那么

,
其中C 1=C-ln a .

提示: =a ch t , dx =a ch t d t .
例23. 求(a>0).
解: 当x>a 时, 设x=a sec t (), 那么
=a tan t ,
于是

= ln |sec t + tan t |+C .
因为, , 所以
= ln |sec t + tan t |+C ,
其中C 1=C-ln a .
当xa, 于是

,
其中C 1=C-2ln a .
综合起来有
.

解: 当x>a 时, 设x=a sec t (), 那么

,
其中C 1=C-ln a .
当x<-a 时, 令x=-u , 则u>a, 于是

,
其中C 1=C-2ln a .
提示:=atant .
提示:, .
综合起来有
.
补充公式:
(16),
(17),
(18),
(19),
(20),
(21),
(22),
(23),
(24).

8