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高等数学教案 第四章 不定积分
第四章 不定积分
教学目的：
1、 理解原函数概念、不定积分的概念。
2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。
3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点：
1、 不定积分的概念；
2、 不定积分的性质及基本公式；
3、 换元积分法与分部积分法。
教学难点：
1、 换元积分法；
2、 分部积分法；
3、 三角函数有理式的积分。
§4. 1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一xÎI, 都有
F ¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.
例如 因为(sin x)¢=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.
又如当x Î(1, +¥)时,
因为, 所以是的原函数.
提问:
cos x和还有其它原函数吗？
原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x ÎI 都有
F ¢(x)=f(x).
简单地说就是: 连续函数一定有原函数.
两点说明:
第一, 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数, F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数.
第二, f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则
F(x)-F(x)=C (C为某个常数).
定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作
.
其中记号称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量.
根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即
.
因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数.
例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以
.
因为是的原函数, 所以
.

例2. 求函数的不定积分.
解：当x>0时, (ln x)¢,
(x>0);
当x<0时, [ln(-x)]¢,
(x<0).
合并上面两式, 得到
(x¹0).
例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解 设所求的曲线方程为y=f(x), 按题设, 曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为y¢=f ¢(x)=2x,
,
即f(x)是2x 的一个原函数.
因为 ,
故必有某个常数C使f(x)=x 2+C, 即曲线方程为y=x 2+C.
因所求曲线通过点(1, 2), 故
2=1+C, C=1.
于是所求曲线方程为y=x2+1.
积分曲线: 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.
从不定积分的定义, 即可知下述关系:
,
或 ;
又由于F(x)是F ¢(x)的原函数, 所以
,
或记作 .
由此可见, 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号表示）是互逆的. 当记号与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数.
二、基本积分表
(1)(k是常数),
(2),
(3),
(4),
(5),
(6),
(7),
(8),
(9),
(10),
(11),
(12),
(13),
(14),
(15).
例4 .
例5 .
例6 .
三、不定积分的性质
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即
.
这是因为, =f(x)+g(x).
性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即
(k是常数, k ¹0).
例7.

.
例8
.
例9 .
例10 .
例11
.
例12

.
例13
= tan x - x + C .
例14
.
例15 .

§4. 2 换元积分法
一、第一类换元法
设f(u)有原函数F(u), u=j(x), 且j(x)可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有
d F[j(x) ]=d F(u)=F ¢(u)d u= F¢ [j(x) ] dj(x)= F ¢[j(x) ]j¢(x)d x ,
所以 F ¢[j(x)]j¢(x)dx= F ¢[j(x)] dj(x)= F ¢(u)d u= d F(u)=d F[j(x) ],
因此
.
即
=[F(u) +C] u = j(x) = F[j(x)]+C.
定理1 设f(u)具有原函数, u=j(x)可导, 则有换元公式
.
被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待, 从而微分等式j¢(x)dx =du可以应用到被积表达式中.
在求积分时, 如果函数g(x)可以化为g(x)= f[j(x)]j¢(x)的形式, 那么
.
例1.
=sin 2x+C .
例2.
.
例3.
.
例4.

.
例5.

=-ln|cos x|+C .
即 .
类似地可得.
熟练之后, 变量代换就不必再写出了.
例6.
.
即 .
例7. .
例8. 当a>0时,
.
即 .
例9.

.
即 .
例10.
.
例11.
.
含三角函数的积分:
例12.
.
例13.

.
例14.
.
例15.

.
例16.
.
例17.
=ln |csc x -cot x |+C .
即 =ln |csc x -cot x |+C .
例18.
=ln |sec x + tan x | + C.
即 =ln |sec x + tan x | + C.

二、第二类换元法
定理2 设x =j(t)是单调的、可导的函数, 并且j¢(t)¹0. 又设f [j(t)]j¢(t)具有原函数F(t), 则有换元公式
.
其中t=j-1(x)是x=j(t)的反函数.
这是因为
.
例19. 求(a>0).
解: 设x=a sin t , , 那么,
dx =a cos t d t , 于是

.
因为, , 所以
.

解: 设x=a sin t , , 那么

.
提示:, dx=acos tdt .
提示: , .

例20. 求(a>0).
解法一: 设x=a tan t, , 那么
=a sec t , dx=a sec 2t d t , 于是
= ln |sec t + tan t |+C .
因为, , 所以
= ln |sec t + tan t |+C,
其中C 1=C-ln a .

解法一: 设x=a tan t, , 那么
=ln|sect+tant|+C
,
其中C 1=C-ln a .

提示:=asect , dx=a sec 2t dt ,
提示:, .

解法二: 设x=a sh t , 那么

,
其中C 1=C-ln a .

提示: =a ch t , dx =a ch t d t .
例23. 求(a>0).
解: 当x>a 时, 设x=a sec t (), 那么
=a tan t ,
于是

= ln |sec t + tan t |+C .
因为, , 所以
= ln |sec t + tan t |+C ,
其中C 1=C-ln a .
当x<a 时, 令x=-u , 则u>a, 于是

,
,
其中C 1=C-2ln a .
综合起来有
.

解: 当x>a 时, 设x=a sec t (), 那么

,
其中C 1=C-ln a .
当x<-a 时, 令x=-u , 则u>a, 于是

,
其中C 1=C-2ln a .
提示:=atant .
提示:, .
综合起来有
.
补充公式:
(16),
(17),
(18),
(19),
(20),
(21),
(22),
(23),
(24).

§4. 3 分部积分法
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为
(uv)¢=u¢v+uv¢,
移项得 uv¢=(uv)¢-u¢v.
对这个等式两边求不定积分, 得
, 或,
这个公式称为分部积分公式.
分部积分过程:
.
例1 =x sin x-cos x+C .
例2 .
例3

=x2ex-2xex+2ex+C =ex(x2-2x+2 )+C.
例4
.
例5

.
例6

.
例7 求.
解 因为

,
所以 .

例8 求.
解 因为

,
所以 .
例9 求, 其中n为正整数.
解 ;
当n>1时，用分部积分法, 有

,
即 ,
于是 .
以此作为递推公式, 并由即可得.
例10 求.
解 令x =t 2 , 则 , dx=2tdt. 于
.

.
第一换元法与分部积分法的比较:
共同点是第一步都是凑微分
,
.
哪些积分可以用分部积分法？
, , ;
, , ;
, .
,
.

§4. 4 几种特殊类型函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的形式:
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:
,
其中m和n都是非负整数; a0, a1, a2, × × × , an及b0, b1, b2, × × × , bm都是实数, 并且a0¹0, b0¹0. 当n<m时, 称这有理函数是真分式; 而当n³m时, 称这有理函数是假分式.
假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如
.
真分式的不定积分:
求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分.
例1 求.
解
=6ln|x-3|-5ln|x-2|+C.
提示: ,
A+B=1, -3A-2B=3, A=6, B=-5.
分母是二次质因式的真分式的不定积分:
例2 求.
解

.
提示: .
例3 求.
解
.

提示:
.
二、三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式.
用于三角函数有理式积分的变换:
把sin x、cos x表成的函数, 然后作变换:
,
.
变换后原积分变成了有理函数的积分.
例4 求.
解 令, 则, , x=2arctan u , .
于是
.
解 令, 则

.
说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如,
.

三、简单无理函数的积分
无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去.
例5 求.
解 设, 即, 则

.
例6 求.
解 设. 即, 则

.
例7 求.
解 设x=t 6, 于是dx =6t 5d t , 从而

.
例8 求.
解 设, 即, 于是

.

练习
1. 求.
解: 作变换, 则有, ,

.
2. 求.
解:

.
3. 求.
解:

=7ln|x-2|-4ln|x-1|+C.

§4.5积分表的使用
积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂. 为了实用的方便, 往往把常用的积分公式汇集成表, 这种表叫做积分表. 求积分时, 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后, 在表内查得所需的结果.
积分表
一、含有ax+b的积分
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
例1求.
解: 这是含有3x+4的积分, 在积分表中查得公式
.
现在a=3、b=4, 于是
.
二、含有的积分
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
三、含x2±a2的积分
1．
2．
3．
四、含有ax2+b(a>0)的积分
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
五、含有ax2+bx+c (a>0)的积分
六、含有 (a>0)的积分
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
例3求.
解: 因为,
所以这是含有的积分, 这里. 在积分表中查得公式
.
于是 .
七、含有(a>0)的积分
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
八、含有(a>0)的积分
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
九、含有的积分
十、含有或的积分
十一、含有三角函数的积分
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．
12．
13．
14．
14．
例2求.
解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式
.
这里a=5、b=-4, a 2>b2, 于是

.
例4 求.
解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式
, .
这里n=4, 于是
.

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