资源描述
乘法公式
教学准备
1. 教学目标
1.1 知识与技能：
[1]熟练掌握完全平方公式的结构特征，并能灵活运用完全平方公式进行相关计算。
[2]掌握完全平方公式的相关推论。
1.2过程与方法 ：
[1]经历探索完全平方公式的过程，并会根据多项式的乘法法则推导完全平方公式。
[2]会结合几何图形直观解释这一公式，渗透数形结合的思想。
1.3 情感态度与价值观 ：
[1]在数学运算中培养学生细致严谨的精神素养。
[2]培养学生灵活运用知识、勇于探求科学规律的意识。
2. 教学重点/难点
2.1 教学重点
[1]完全平方公式的结构及灵活运用。
2.2 教学难点
[1]理解公式中字母的广泛含义（可以是数字、单项式、多项式）。
[2]a，b，a+b，ab，a−b， a2+b2，六者的关系。
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
1 引入新课
【师】同学们好。上次课我们学习了平方差公式，大家还记得吗？
【生】(a+b)(a−b)=a2−b2
【师】没错。平方差公式可以看做是一类特殊的多项式相乘得到的结果，那我们今天继续来学习另外一类特殊的多项式——完全平方公式。
【板书】
第十四章 整式的乘法和因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
2 新知介绍
[1] 情景引入：扩建花坛
【师】正课开始之前，我们先来看这样一个实际生活中的问题，请大家看投影。学校为了美化环境，决定把原来的一块边长为a米的正方形花坛扩大。扩建完的花坛仍为正方形，边长增加b米。那新修建的花坛面积可以怎么表示呢？给大家两分钟时间想一想，学习小组之间可以交流和思考一下。
【生】（两分钟思考交流，给出答案）。整个正方形的边长为(a+b)，因此面积可以表示为(a+b)2。将整个正方形分为四部分，面积可以表示为a2+2ab+b2。
【师】大家从刚才这个例子中能得到什么样的猜想呢？
【生】(a+b)2=a2+2ab+b2。
[1] 探索和介绍：完全平方公式
【师】大家刚才提出了一个猜想，那下面请看投影上给出的多项式的乘法，大家按照多项式乘以多项式的法则，把结果算出来。
(p+1)2= (p+1)(p+1) = 。
(m+2)2= 。
【生】（计算并给出答案）。
【师】现在大家观察一下这两个等式，有什么共同的特点吗？
【生】左边都是两个完全相同的和相乘，右面是两个平方项的和加上一个单项式。
【师】非常好。那这样的话，我们可以抽象出下面这个通式，它包括了刚才各位提出的式子的特点。请大家算一算：(a+b)2等于多少。
【生】得出答案：(a+b)2=(a+b) (a+b)=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
【师】好了，大家现在得到了结论：(a+b)2=a2+2ab+b2。这正好印证了大家刚才的猜想。这就是两数和的完全平方公式，也就是说两数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数的乘积的2倍。（板书并介绍概念）
【板书/PPT】
一、完全平方公式
1.(a+b)2= a2+2ab+b2
【师】那我们接着来看下面一组多项式，请大家算出它们的结果。
(p−1)2= (p−1)(p−1) = 。
(m−2)2= 。
【生】（计算并给出答案）。
【师】这一组多项式和刚才有什么区别吗？
【生】左边变成完全相同的两个差相乘，右面变成了两个平方项的和减去一个单项式。
【师】非常好。那这样的话，请直接根据刚才的两数和的完全平方公式，大家算一算：(a−b)2等于多少。
【生】得出答案：(a−b)2=[a+(−b)]2=a2+2a(−b)+(−b)2 =a2−2ab+b2
【师】好了，大家现在得到了结论：(a−b)2=a2−2ab+b2，这就是两数差的完全平方公式，也就是说两数差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数的乘积的2倍。（板书并介绍概念）
【板书/PPT】
(a−b)2= a2−2ab+b2
【师】刚才我们直观地用图形表示了两数和的完全平方公式，那下面大家能仿照刚才的方法，用旁边这幅图，直观说明(a−b)2= a2−2ab+b2吗？。
【生】（给出答案，跟之前的例子类似，这里略）
【师】我们刚才介绍的这一组公式，可以简写成(a±b)2= a2±2ab+b2 ，这一组公式就叫做完全平方公式。（板书给出概念，以及记忆口诀）
【板书/PPT】
2. 简写：(a±b)2= a2±2ab+b2 ，完全平方公式
巧记：首平方，尾平方，积的2倍放中央，中间符号同前方。
【师】请大家注意完全平方的形式。这里的(a±b)2和a2±b2是有很大区别的。(a±b)2读作a与b的和（或差）的平方。a2±b2读作a与b的平方的和（或差）。(a±b)2先算和差，再平方； a2±b2先算各自的平方，再求和。另外，若a≠0且b≠0，则(a±b)2≠a2±b2，也就说，通常情况下，这两个式子不相等！
[2] 边学边练：相关例题讲解
【师】（教师给出教材110页例题3和4的四个小题，并给出答案，这里注意强调学生怎样对应运用公式，并可以指出公式里的a，b还可以是数字，用于简化计算）。
[3] 完全平方公式的变号法则。
【师】好了，下面大家来思考这样一组问题（教材110页思考）。
(a+b)2和(−a−b)2相等吗？
(a−b)2和(b−a)2相等吗？
(−a+b)2和(a−b)2相等吗？
大家可以自己动手算一算，或者简单一点的话，我们在学习有理数的时候曾经讲到过，(a−b)和(b−a)的关系，可以联想并得到答案。
【生】都相等，因为：
(−a−b)2=(−a)2−2·(−a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
(b−a)2=b2−2ab+a2=a2−2ab+b2=(a−b)2
(−a+b)2= (b−a)2=(a−b)2
【师】没错。那刚才的这几个问题就告诉我们，计算完全平方的结果时，最好先把括号里的首项化为正，这样便于对应公式。如果我们根据幂的乘方，就可以把这上面的一组结论推广到高次幂上（板书或PPT给出结论）。
【PPT/板书】
二、变号法则及其扩展：
1. 计算完全平方的结果时，最好先把括号里的首项化为正，可以简便运算。
2. 一般规律：(−a−b)2k=(a+b)2k ，(−a+b)2k=(a−b)2k= (b−a)2k，其中，k为正整数
【师】下面我们就根据刚才的这一组结论，来看下面两道例题。
（给出例题：(−2a−3b)2，(−2x+5)2，并运用上述知识把首项变成正，再按照完全平方公式计算）
[4] 重要推论
【师】下面我们来挑战一个稍稍有点难度的题目。大家看，已知：a>b，且a+b=3，ab=2，则a−b=？大家可以先前后桌思考和讨论一下，看看这道题怎么做。
【生】（给出答案，思路应如下）。
【师】那根据刚才的启发，下面我们就来给出两组重要的关系（板书或PPT）
【板书/ppt】
三、两个重要关系
1. a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab
2. (a+b)2−(a−b)2=4ab
3. 知二推四：a，b，a+b，ab，a−b， a2+b2
【师】一般地，在a，b，a+b，ab，a−b， a2+b2中，只要能够知道其中两个的式子取值，就能够根据完全平方公式，求出另外四个式子的值！
。
课后习题
[1] 课堂练习
1. 利用完全平方公式计算下列各题
(−2x+5)2=
(−4x−3y)2 =
982=
512=
2. 计算(2x−1)2−(3x+1)2
3. 若(x−1)2=x2+kx+1，则49−k的值是多少?
4. 解不等式： (2x−5)2+(3x+1)2>13(x2−10)
5. 已知a+b=2，a2+b2=10，试利用完全平方公式，简便地求ab，(a−b)，a，b的值。
答案：
板书
第十四章 整式的乘法和因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
一、完全平方公式
1. (a+b)2= a2+2ab+b2
(a−b)2= a2−2ab+b2
2. 简写：(a±b)2= a2±2ab+b2 ，完全平方公式
巧记：首平方，尾平方，积的2倍放中央，中间符号同前方。
二、变号法则及其扩展：
1. 计算完全平方的结果时，最好先把括号里的首项化为正，可以简便运算。
2. 一般规律：(−a−b)2k=(a+b)2k ，(−a+b)2k=(a−b)2k= (b−a)2k，其中，k为正整数
三、两个重要关系
1. a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab
2. (a+b)2−(a−b)2=4ab
3. 知二推四：a，b，a+b，ab，a−b， a2+b2
（以上为黑板左侧内容，没有PPT教学设备的课堂可在右侧安排书写相应例题）
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
