资源描述
乘法公式
教学准备
1. 教学目标
1.1 知识与技能：
[1]会根据多项式的乘法法则推导平方差公式。
[2]熟练掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式进行相关计算。
1.2过程与方法 ：
[1]经历探索平方差公式的过程，体验从特殊到一般的归纳思想。
[2]通过联系平方差的几何背景，使学生明白数形结合的思想。
1.3 情感态度与价值观 ：
[1]在数学运算中培养学生细致严谨的精神素养。
[2]培养学生灵活运用知识、勇于探求科学规律的意识。
2. 教学重点/难点
2.1 教学重点
[1]平方差公式的结构及灵活运用。
2.2 教学难点
[1]理解公式中字母的广泛含义（可以是数字、单项式、多项式）。
[2]对应好公式中的同号项和异号项。
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
1 引入新课
【师】同学们好。上次课我们学习了多项式的乘法法则，多项式乘以多项式有什么规律呢？
【生】多项式乘以多项式要一一握手，逐项相乘之后求和。
【师】没错，可是，如果每一个多项式和多项式相乘都要这么做的话，哪怕只是给出的最简单的就要一一握手四次，有没有哪些特殊的多项式乘法，可以简化运算呢？这就是我们今天要学习的内容。
【板书】
第十四章 整式的乘法和因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
2 新知介绍
[1] 情景引入：阿凡提和巴依老爷换地
【师】正课开始之前，我们先来看这样一个故事。大家听说过阿凡提吧？有一天，巴依老爷来找阿凡提（……投影上播放故事情节，老师伴随口述，这里略）。那现在我们来看，巴依老爷一边加了五米，一边减了五米，看起来没有什么变化，为什么阿凡提不答应换地呢？大家如果把刚才的故事用数学语言抽象出来，会是什么样的问题呢？我给大家放出这幅图，大家动脑想一想。
【生】（思考交流，给出答案）。假设原来阿凡提手里的土地是边长为a米的正方形，面积是a2平方米，现在一边加上五米，一边减去五米，变成了面积为(a+5)(a-5)的长方形土地。
【师】没错，那土地的面积到底变没变，阿凡提如果换地，会吃亏吗，这个问题你们学了这堂课的知识，就能解答了。
[2] 观察思考与概念介绍：平方差公式的探索和引入
【师】下面请看投影，老师给大家下面三个多项式的乘法，大家按照上次课老师教给大家的多项式乘以多项式的法则，把结果算出来。
(x+1)(x−1)= 。
(m+2)(m−2)= 。
(2x+1)(2x−1)= 。
【生】（计算并给出答案）。
【师】那现在大家观察一下这三个等式，你们发现这三个等式有什么共同的特点吗？
【生】（分组讨论和交流）。这三个等式的左边都是两个多项式的成绩，右面是两个平方项的差。
【师】那这两个多项式又有什么特点呢？
【生】两个相同的项，相加的结果和相减的结果，之后乘积。
【师】非常好。那这样的话，我们可以抽象出下面这个通式，它包括了刚才各位提出的式子的特点。请大家算一算：(a+b)(a−b)等于多少。
【生】得出答案：(a+b)(a−b)= a2−ab+ab−b2 = a2−b2
【师】好了，大家现在得到了结论：(a+b)(a−b)= a2−b2。这就是我们今天要学习的核心——平方差公式。（板书并介绍概念）
【板书/PPT】
一、平方差公式
1.(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差
【师】根据这个公式，只要大家以后碰到类似的多项式计算，对于具有和上面左侧相同结构的多项式相乘，可以直接写出来运算结果。
[1] 边学边练：相关例题讲解和易错点简介（结合PPT，例题均为书上的）
【师】趁热打铁，大家既然看到了这个公式，我们先来学习一下这个公式怎么用，先看这个，请计算：(3x+2)(3x−2)。这里我们把3x看做是公式里面的a，2看做是公式里面的b，现在请大家套用乘法公式，给出答案。
【生】（给出答案，原式=(3x)2−22=9x2−4。）
【师】好了，下面我们来进一步剖析一下这个公式，大家请看，(a+b)(a−b)= a2−b2。这个公式的结果可以解读为：同号项的平方减去异号项的平方，这也是运用这个公式时候注意的地方，不要对应错位置。请大家看这道题，(-x+2y)(-x-2y)，这里面的同号项是哪个，异号项是哪个呢？
【生】−x是同号项，2y是异号项。
【师】没错。那下面大家写出来结果吧。
【生】（给出答案，原式=(-x)2－(2y)2= x2－4y2。）
【PPT/板书】
2.巧记：同号项的平方减去异号项的平方。
【师】平方差公式需要灵活运用，下面老师给出来常见的两个平方差公式的变体，大家到了具体的题目中也要会辨别。
【PPT/板书】
3.几个常见的变体：
乘法交换律：(a−b)(a+b)= a2−b2
加法交换律：(−b+a)(b+a)= a2−b2
【师】那大家看一下老师在投影上给出的这几个式子，这几个式子可以用平方差公式计算吗？
(2+a)(a−2)
(−4k+3)(−4k−3)
(1−x)(−x−1)
(−x−1)(x+1)
(x+3)(x−2)
(a+b−c)(a−b−c)
【生】（给出答案）。
【师】下面我们再来做两个题，看看大家有没有思路？（给出：(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5)，102×98两个题目，强调以下两点：只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按照乘法法则进行；公式里的字母完全可以是个数字，因此可以进行简算）
【PPT/板书】
4.注意事项：
（1）只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按照乘法法则进行。
（2）可以进行简便运算。
（以上为黑板左侧内容，没有PPT教学设备的课堂可在右侧安排书写相应例题）
[2] 补充讲解：数形结合的思想
【师】我们回过头来，看看为什么阿凡提没有答应换地。你们这次能给出答案吗？
【生】因为巴依老爷给他的地少了，原来是a2，现在只有a2−25了。
【师】那根据刚才的启发，大家看下面这幅图，能直观地说明平方差公式吗？
【生】通过平移，两个浅色部分的长方形形状是一样的。根据面积的等量关系，大正方形扣除小正方形之后剩下的面积，就等于边长分别为(a-b)和(a+b)的长方形。
课堂小结
课后习题
[1] 课堂练习
1. 下列式子中，可以用平方差公式计算的是（ ）
1) (x−2y)(2y+x)
2) (x−2y)(−x−2y)
3) (−x−2y) (x+2y)
4) (x−2y)(−x+2y)
2. 下列式子中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A. (x−2y)(2y+x)
B. (x−2y)(−x−2y)
C. (−x−2y) (x+2y)
D. (x−2y)(−x+2y)
3. 下列计算正确的是（ ）
A. (x+2) (x−2) = x2−2
B. (−m−n) (m+n) = m2−n2
C. (a+2b) (2b−a) = 4b2−a2
D. (2x+1) (2x−3) = 4x2−3
4. 计算：
(3x+y) (3x−y) = (5x+3y) (3y−5x) =
(3a−2b)(−2b−3a) = 51×49=
5. 用平方差公式计算20152−2014×2016
6. 计算：(3x+4) (3x−4)−(2x+3) (3x−2)
7. 计算：1002−992+982−972+…+22−12
答案：
1. 1)和2) 2. C 3. C
4. 9x2−y2，9y2−25x2，4b2−9a2，2499
5. 原式= 20152−2014×2016= 20152−(2015−1)×(2015+1) = 20152−(20152 −1)= 20152−20152 +1= 1
6. 原式=(9x2−16)−(6x2−4x+9x−6)=9x2−16−6x2+4x−9x+6=3x2−5x−10
7. 原式=(100−99)(100+99)+(98−97)(98+97)+…+(2−1)(2+1)=100+99+98+…+2+1=5050
板书
第十四章 整式的乘法和因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
一、平方差公式
1. (a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差
2. 巧记：同号项的平方减去异号项的平方。
3. 几个常见的变体：
乘法交换律：(a−b)(a+b)= a2−b2
加法交换律：(−b+a)(b+a)= a2−b2
4. 注意事项：
（1） 只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按照乘法法则进行。
（2） 可以进行简便运算。
（以上为黑板左侧内容，没有PPT教学设备的课堂可在右侧安排书写相应例题）
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