资源描述
10.1 平方根(3课时)
课程目标
一、知识与技能目标
1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。了解算术平方根与平方根的区别与联系。毛
2.对于任意有理数都能区分其“＋”、“－”性，运用计算器已势在必行。
二、过程与方法目标
采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？
三、情感态度与价值观目标
1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。
2.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。
教材解读
本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。
学情分析
上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。
第１课时
一、创设情境，导入新课
玲玲家最近喜事不断，家里新购了一套房子，全家欢欢喜喜地搬进新居，爸爸妈妈又增加了工资。条件改善了，为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业。爸爸问玲玲：“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子？”玲玲认为正方形桌子更大，可以多堆点书，又可以有足够的位置写字，所以她更喜欢正方形桌子。于是爸爸根据她的喜爱为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为100cm，你能算出这张桌子的周长和面积吗？当然可以了，可是如果玲玲更直接地告诉爸爸“我想要一张面积约为125dm的正方形桌子”。请问她爸爸能为她购置到满意的桌子吗？当然可以，计算正方形的面积必须要知道正方形的边长，根据边长求面积是乘方运算，而根据面积求边长又是什么运算呢？这节课我们就来探讨这个问题。
二、师生互动，课堂探究
(一)提出问题,引发讨论
1.你能求出下列各数的平方吗?
0,-1,5,2.3,-,-3,3,1,
能.02=0 (-1)2=1 52=25 2.32=5.29 (-)2= (-3)2=9 32=9 12=1 ()2=
2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗?
25,0,4,,,-,1.69
能.由于52=25,(-5)2=25,故平方为25的数为5或-5.
02=0,故平方为0的数为0.
22=4,(-2)2=4,故平方为4的数为2或-2.
(-)2=,()2=,故平方为的数为±.
(-)2=,()2=,故平方为的数为±.
对于-这个数,没有哪个数的平方等于它,故平方为-的数找不到.
1.32=1.69,(-1.3)2=1.69,故平方为1.69的数是±1.3.
又如:课本P160中的问题:小欧要裁一块面积为25dm2的正方形画布,由于正方形的面积为边长的平方,而边长不可能为负数,故此画布的边长应为5dm.依此可得正方形的面积若分别为1,9,16,36,时,此正方形的边长分别为1,3,4,6, .
由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的平方值时,只有一个,也有些时候,我们已知某数的平方,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数是互为相反数,而如果是已知某物的面积求其边长时,其边长也只有一个值.我们把已知平方值,求原数的问题称为求这个数的平方根.
(二)导入知识,解释疑难
1.教材内容讲解
欲确定某数的平方根时,由以上过程发现,即使有两个值,这两个值也是一对互为相反数,因此实际上我们若求出其中一个值,另一个值也就可以根据求出的数再写出它的相反数,我们就可先确定一个正数,把这个正数称为所给数的算术平方根.
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.
例1 求下列各数的算术平方根:
(1)900 (2)1 (3) (4)196 (5)0 (6)10-6
解:(1)∵302=900,故900的算术平方根是30,即=30.
(2)∵12=1,故1的算术平方根是1,即=1.
(3)∵()2=,故的算术平方根是,即=
(4)∵142=196,故196的算术平方根是14,即=14.
(5)∵02=0,故0的算术平方根是0,即=0.
(6)∵(10-3)2=10-6,故10的算术平方根是10-3,即 =10-3
例2:勤俭节约是中国人的一种美德,涛涛的爷爷是个能工巧匠,他把两张破损了一部分的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面,其面积为169dm2.已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是边长为5dm的小板子,试问另一张较大的桌面的边长应为多少dm才能拼出面积为169dm2的桌面?
分析:边长为5dm的正方形板子,其面积为25dm2,要拼出面积为169dm2的桌面,还需面积为169-25=144dm2的正方形桌面,故问题实际上转化为求144的算术平方根,即=12.
解:设另一张较大的桌面的边长为xdm,则有
x2+52=159,x2=169-25=144,而122=144
故144的算术平方根为12,即=12,即另一张桌面的边长应为12dm.
练习:
1.求下列各式的值:
①; ②; ③; ④.
解:①=1.2 ②==0.1
③=0.9-0.2=0.7 ④==
(2)若(a-1)2+│b-9│=0,则的算术平方根是下列哪一个( )
A. B.±3 C.3 D.-3
分析:由于(a-1)2≥0.│b-9│≥0,
∴(a-1)2+│b-9│=0时,有a-1=0且b-9=0,
∴a=1,b=9,
∴==9,故的算术平方根是3.
3. 有意义吗?为什么?
分析: 无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a2≥0,故无意义.
2.探究活动
(1)当a为负数时,a2有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?当a为正数时,a2的算术平方根如何表示?a为0呢?举例说明你的结论.
(2)x2-x+是否有算术平方根?如有请写出其算术平方根,如没有说明为什么?
解:当a为负数时,a2为正数,故a2有算术平方根,如a=-5时,a2=(-5)2=25, ==5,5是-5的相反数,故a2<0时,a的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.
当a2为正数时,a的算术平方根表示为,其值为a,即=a.
当a=0时, =0
由此可知=|a|=
(2)因为(x-)2=x2-x+,而(x-)2一定是非负数,故x-x+也是非负数,故x2-x+有算术平方根,其算术平方根的值要视x的取值而定.当x≥时,x2-x+的算术平方根为x-.当x<时,x2-x+的算术平方根为-(x-)=-x.
(三)归纳总结,知识回顾
这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,求一个数的算术平方根与求一个正数的平方幂正好是互逆的过程,因此,求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的开平方运算.只不过,只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.
练习设计
(一)双基练习
1.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______;若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为______.
2.求下列各式的值:
,, , ,
3.3x-4为25的算术平方根,求x的值.
4.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值.
(二)创新提升
5.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值.
(三)探究拓展
6.若与互为相反数,求xy的算术平方根.
参考答案
1.0,1 0; 2.0.4, ,3,0.5,10-1(); 3.x=3
4.a=3,b=±4,则a-b=3-4或3-(-4),故a-b=-1或7.
5.a=5,b=2
6.x=4,y=4,xy=16,xy的算术平方根为4.
课后作业：
第2课时
一、创设情境，导入新课
某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上,再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.
将原矩形纸片的面积减去剩余的矩形纸片的面积即为正方形纸片的面积,正方形纸片的面积为90-40=50cm2,而正方形的面积为边长的平方,要求正方形的边长就得算出多少的平方等于50,但我们知道72=49,82=64,50这个数既不是72,也不是82,由于49<50<64,故此正方形的边长应大于7而小于8.到底它为多少呢?它是一个小数吗?你有什么办法确定这个值呢?这一系列问题正是我们这节课要讨论的问题.
二、师生互动,课堂探究
(一)提出问题,引发讨论
在实际问题中,往往会遇到像上述情形中的问题,如果在所学过的有理数中确实找不到合适的数的平方会等于所给的数,我们该怎么表示所给数的算术平方根呢?
我们知道,若有正数x,使x2=a(a≥0),则x为a的算术平方根,记作x=,于是若x2=50时(x为正数),则x=,而72<50<82,因此有7<<8,现在我们就来学习如何求的近似值,是不是有理数呢?
(二)导入知识,解释疑难
1.教材内容讲解
在上学期有理数的乘方运算中,我们已经掌握了用计算器求一个数的平方的方法,现在我们要确定一个数的平方根,也可借助这种方法进行,我们不妨用计算器验证7.12,7.12=50.41,而50.41>50,故<7.1,再验证7.092=50.27>50,故7< <7.09,而7.082=50.12,7.072=49.98,故7.07<<7.08,接着继续增加小数点后一位小数,如7.071,计算7.0712=49.99,而7.0722=50.013,故7.071<<7.072,……如此继续进行下去,可以发现将小数点后的小数位继续增加下去,一直不能穷尽,都只能使7.07……的平方值无限接近,因此发现,不可能化为我们以前学过的无限循环小数,只能化为无限不循环小数,而有理数只包括有限小数和无限循环小数或者整数,但却不在这些数的范围内,只能说这个数不是有理数,我们把这种数重新命名为“无理数”,于是数的范围也就扩充了,是否我们可以直接用计算器来计算某一个正数的算术平方根呢?
只要计算器上有“”键或者“”键,它就可以用来求某正数的算术平方根了,但不同的计算器的按键顺序不相同,只要按计算器的使用方法去按键,就可求出任意正数的算术平方根了.
例1:用计算器计算和,,的值.
解:通过按键可得的值在计算器上显示:56,为有理数.的值在计算器上显示1.414213562,而的值在计算器上显示2.236067978,的值在计算器上显示3.16227766.从计算器上显示的数都是位数有限的,因此往往给我们一个印象“这些值都是有理数”,而事实上我们知道用平方幂验证它们的平方根时,却怎么也找不到准确的数,使其平方为2、5、10,于是我们得出:这些数不是有理数,只是一个无限不循环小数即无理数.通过计算器计算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值.运用计算器可以很方便地确定一个任意正数的算术平方根.
活动:怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?求出其边长.
分析:将两个面积为1的小正方形的面积相加得2,而要拼的大正方形的面积正好为2,于是可知,只要将两个小正方形剪开再重新拼合成一个正方形即能满足要求.要确定新正方形的边长,我们就得确定的值大约是多少,我们知道12=1,22=4,故1<<2,也即是面积为2的正方形的边长比1大故比原小正方形的边长大,若沿原小正方形的对角线将两个小三角形剪开,得四个形状、大小完全相同的小直角三角形,将这四个直角三角形的直角边拼接起来得一个新正方形.(如课本图10.1-1)
使用计算器不仅能很方便地计算出任意一个正数的算术平方根,而且还能使用计算器找到某些数的算术平方根之间的关系.
例3:(1)求下列各数的算术平方根.
0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000
(2)利用计算器计算下列各式的值:
……
你能找到其中的规律吗?把你的发现用自己的语言叙述出来,并利用你的发现说出、、的近似值(已知≈1.732),你能根据的值确定 的值吗?
解:(1)∵0.0012=0.000001 ∴=0.001依次可得出=0.01, =0.1, =1, =10, =100, =1000
从中发现被开方数在逐渐扩大,并且每次扩大100倍,其算术平方根也在逐渐扩大,但只扩大10倍,于是猜测两个正数之间如果满足b=100a,则有=10,(或者:被开方数每扩大100倍时,其算术平方根相应地扩大10倍)
(2) =0.25 ≈0.79057 ≈7.9057 ≈7.9057 =25 ≈79.057 =250 ≈790.57
比较相应的两列数中的被开方数及其算术平方根,同样可验证在题(1)中的规律,而与中的数开方数只扩大了10倍,它们的算术平方根之间没有规律可循.故若已知≈1.732,可知≈0.1732, ≈17.32, ≈173.2,但不能知的值.
2.探究活动
(1)用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,你会怎样剪?
(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,你又怎样剪?根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗?
解:(1)面积为400cm2的正方形纸片的边长为20cm,沿着边的方向剪出一刀,使长方形纸片的面积为300cm2,则其宽为300÷20=15cm,于是只要剪掉5cm宽的长方形纸片即可.
(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,则可设其两边为3x和2x,则有3x·2x=300,6x2=300 x2=50,x=,故长方形纸片的长为3cm,宽为2cm,而3>3×7=21cm,21cm比原正方形的边长20cm更长,这是不可能的.
通过上述两例发现利用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸片.
(三)归纳总结,知识回顾
通过本节课的学习可知,并不是所有的正数的算术平方根都是有理数,这时我们既可以用“”的形式表示,也可以用一个与的值接近的有理数替代,于是可用计算器算出这个数,但实际上,是一个无理数.
练习设计
(一)双基练习
1. 用计算器求出下列各式的值.
-
2.用计算器比较与的大小.
3.在物理学中,用电器中的电阻R与电流I,功率P之间有如下的一个关系式:P=I2R,,现有一用电器,电阻为18欧,该用电器功率为2400瓦,求通过用电器的电流I.
4.用边长为5cm的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少?(精确到0.01cm)
(二)创新提升
5.某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2.
(1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于1米)
(2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少?(精确到0.01)
(三)探究拓展
6.(1)任意找一个很大正数,利用计算器将该数除以3,将所得结果再除以3…….随着运算资料的增加,你发现了什么?换一个数试试,是否仍有类似的规律?
(2)任意找一个非常大的正数,利用计算器不断地对它进行开算术平方根,你发现了什么?
参考答案
1.94.63 111.1 -16.12 0.0733 2. ≈0.366< 3.I≈11.55安培 4.约7.07cm 5.(1)宽约为154.92米 (2)r≈5.05米 6.(1)结果越来越小,趋向于0 (2)结果越来越趋向于1
第3课时
一、创设情境,导入新课
同学们,你知道“神舟五号”载人飞船吗？“神舟五号”载人飞船于2003年10月15日9时整,在中国酒泉卫星发射中心进行首次载人航天发射,由“长征二号”F型火箭点火升空,这标志着我国的航天事业又前进了一步,我国在世界上的地位也徒然而升了;当物体达到11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力的束缚,在摆脱地球束缚的过程中,在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行,脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行,若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系,物体的运动速度必须达到16.7千米/秒,那时将按双曲线轨迹飞离地球,而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳.经过计算,在地面上,物体的运动速度达到7.9千米/秒时,该速度被称为第一宇宙速度.第一宇宙速度与哪些因素有关呢?又是如何计算呢?
二、师生互动,课堂探究
(1)前面在第一节课的学习中,我们计算过了很多互为相反数的平方,发现这些数的平方值会相等,按照我们求正数x的算术平方根的考虑,若x2=a,则x=称为a的算术平方根,而x还有一个负值,又该如何称呢?
(2)宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒),其中v1、v2满足v12=gR,v22=2gR,其中g是物理中的一个常数(重力加速度),g≈9.8米/秒2,R是地球半径,R≈6.4×106米,如何确定v1、v2的值呢?它与算术平方根有什么关系?下面让我们来逐个分析吧.
(二)导入知识,解释疑难
1.若一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢?
由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和-4叫做16的平方根,记为4=,则-4= -,把4和-4称为16的平方根.
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,即若x2=a,则x为a的平方根,记为x=±.如3和-3是9的平方根,记为±3是9的平方根,表示为±3=±.
把求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,而平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根,例如当x2=1时,x=±1;当x2=16时,则x=±4,当x2=36时,x=±6;当x2=49时,x=±7;当x2=,则±为的平方根,依次可记为±,±,±,±,±,它们的对应关系如图所示.
练习:求下列各数的平方根.
(1)0.49 (2) (3)81 (4)0 (5)-100
解:(1)因为0.72=0.49,(-0.7)2=0.49,所以0.49的平方根为±0.7,即±=±0.7
(2)因为()2=,(-)2= ,所以的平方根为±,即±=±
(3)因为92=81,(-9)2=81,所以81的平方根为±9,即±=±9.
(4)因为02=0,所以0的平方根为0,即±=0.
(5)因为任何数的平方都不小于0,找不到平方为-100的数,故-100没有平方根.
将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较,正数(或0)的算术平方根只是它们的平方根中的一部分,是正数(或0)的那部分,而负的那个值正好是算术平方根的相反数,进一步可归纳出:
正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数.
0的平方根是0
负数没有平方根
例1:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根.
(1) (2)- (3)±
解:(1)因为1.22=1.44,所以=1.2,1.44的平方根为±1.2,即±=±1.2.
(2)因为92=81,所以-=-9,81的平方根为±9,即±=±9.
(3)因为()2=,所以±=±,它正是的平方根.
故求正数的平方根时,只要知道它的算术平方根,就能确定了,因为其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方根.同样如果知道某数的算术平方根的相反数,则该数的平方根同样可确定.
面对问题(2)中的“宇宙速度”,我们知道第一宇宙速度v12=gR,其中g=9.8米/秒2,R≈6.4×106米,v22=2gR,则有v12≈9.8×6.4×106米2/秒2≈62.72×106米2/秒2=6.27×107米2/秒2.v22≈125.44×106米2/秒2=1.2544×108米2/秒2
因此,v1是6.272×107的平方根,v2是1.2544×108的平方根.
那么v1=±≈±7.9×103米/秒=±7.9千米/秒,v2=± ≈±11.2×103米/秒=±11.2千米/秒
但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑速度的方向,故负值不合题意,应舍去,实际上,在某些具体问题中,要根据得出的答案是否有意义而取值.
例2:某矩形的面积为13200平方米,若其长是宽的3倍,试求出此矩形的长与宽分别是多少米?
解:设宽为x米,则长为3x米,其面积为3x2平方米
故3x2=13200 x2=4400 解得x=±=±66.33
但x为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米,即此矩形的长为198.99米,宽为66.33米.
2.探究活动
对于正数x和y,有下列命题:
(1)若x+y=2,则≤1 (2)x+y=3,则≤ (3)若x+y=6,则≤3
根据以上三个命题所提供的规律猜想:
(1)若x+y=9,则≤_______.
(2)若对于任意正数a、b,总有≤_____.
分析:当x+y=3时,有≤,从中发现分母为2,分子为x、y的和,再验证其它的等式:x+y=2时,则≤=1.当x+y=6时, ≤=3.与已知相吻合,故有结论m>0,n>0,且m+n=a时,则≤,即≤
∴x+y=9时,则≤, ≤
由此得a+b≥2, 即(-)2≥0
(三)归纳总结,知识回顾
本节课针对平方根与算术平方根的意义具体地分析何种情形用平方根,何种情形用其算术平方根,得根据实际情况选择答案.
练习设计
(一)双基练习
1. 的值为多少?16的平方根为多少? 的平方根呢?
2.如果一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少?
3.有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m2,求长和宽.
4.若(a-)2= +a2-2,现老师布置了一道化简题: +(a=) .甲、乙两同学很快地写出其解答过程:
甲: + =+=+-a=-a,
当a=时,-a=10-=9
乙: +=+=+a-=a=
谁的答案是对的?为什么?
(二)创新提升
5.已知a=-1,b=2-,c=-2,试比较a、b、c的大小.(不用计算器)
(三)探究拓展
6.若的整数部分为a,小数部分为b,求a、b的值.
参考答案
1.4,±4,±2 2.-4 3.长为10m,宽为2.5m
4.甲的答案是对的,因为a= 时,>a.
5.因为3>2 ,
所以a-b=-1-=-1->-1-=-1-,
而c-a=--1- =a-b>0
∴b<a<c
6.∵<<
∴5<<6
∴ 的整数部分为5,小数部分为-5,即a=5,b=-5
课后习题答案
习题10.1
1.(1)14 (2) (3)0.2 (4)10
2.(1)(3)(4)式有意义,(2)式无意义 -3没有算术平方根
3.(1)±15 (2) (3) (4)
4.(1)对 (2)对 (3)错 (4)对
5.(1) ≈29.44 (2) ≈0.6801
(3)-≈-0.5657 (4)±≈±49.01
6. 最接近的两个整数是6和7
7.(1)±16.4 (2) ≈16.9
(3) 在16.4～16.5之间,
因为16.42=268.95<270,16.52=272.25>270,
故169<<16.5
(4)16.1
8.(1)x=±5 (2)x=±9 (3)x=±
9.120=4.9t2,t2=24.48 t=≈4.95秒≈5秒
10.2倍,3倍, 倍
11.(1)2,3,5,6,7,0 , =│a│
(2)4,9,25,36,49,0 ,()2=a.
12.其值最接近1.毛
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