八年级数学下册 24.2命题的证明教案 冀教版.doc

24.2命题的证明 教学设计
教学设计思路
本节主要是让学生经历通过观察、验证、归纳、类比等方法猜想结论的过程，了解证明的必要性，真命题的证明步骤与格式.
教学目标
知识与技能
说出定义、定理、公理的含义；
初步体会证明的基本步骤和书写格式；
通过了解定义、定理、证明的含义，能用数学的眼光观察、分析、处理生活中的实际问题.
过程与方法
经历通过观察、验证、归纳、类比等方法猜想结论的过程，发现由这些方法得到的结论可能不正确，从而认识证明的必要性.
情感态度价值观
在分析探索过程中强化逻辑思维意识，体会逻辑推理在几何学中的重要地位.
教学重点和难点
重点是了解证明的必要性，真命题的证明步骤与格式.
难点是推论证明的思路和方法.
教学方法
启发引导、小组讨论，合作探究
课时安排
2课时
教具学具准备
投影仪或电脑
教学过程设计
第1课时
在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质.由这些方法得到的结论有时不具有一般性.因此，要说明命题是真命题，常需要我们进行严格的推理证明.
（一）观察与思考
1.已知；如下图，a∥b，b∥c直线a，b平行吗?
(1)请你先通过观察作出判断.你能肯定自己的判断正确吗?
(2)在图24—3(1)中，再作一条直线l，使直线l与直线a，b，c都相交，如图24—3(2).用量角器测量∠1和∠2，根据∠1和∠2的大小关系，你能判定“a与b平行”这一结论正确吗?

2.当n=1时，(n2－5n＋5)2=1；
当n=2时，(n2－5n＋5)2=1；
当n＝3时，(n2－5n＋5)2=1.
由此归纳得出：当n取任意正整数时，(n2－5n＋5)2的值都是1.你认为这个命题正确吗?为什么?
3.如果a＝b，那么a2=b2.由此类比猜想得出：当a>b时，a2>b2，你认为这个命题正确吗?为什么?
目的是通过学生的观察与思考，认识证明的必要性，
1.(1)a∥b，不能，
(2)由∠1=∠2，能判断a∥b
2.不正确.当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝25.
3.不正确，因为0>－1，但02<(－1)2，
本节的主要目的是让学生了解证明的必要性.教学时，务必要充分体现这一点.
以上事例说明，我们经常采用观察、测量、归纳、类比的方法来探索结论，发现命题.但是，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.
一个命题的真假，常常需要进行有理有据的推理才能作出正确的判断.这个推理的过程叫做命题的证明(proof).我们把经过证明的真命题叫做定理(theorem).
经过实践检验公认是真命题的，我们把它叫做公理(axiom).如“过平面上两点，有且只有一条直线”就是一个公理.等式和不等式的性质也可以看做公理.
对一个名词或术语的含义加以描述，规定，就是这个名词或术语的定义(definition).例如，对“角”“平行线”“方程”和“不等式”等概念的描述，就是它们的定义.
证明命题时，仅有已知条件作为证明的基础是不够的，还需要一些公理、定义和定理作为推理论证的依据.
（二）大家谈谈
回忆你所学过的公理和定义，并与同学交流.
让学生广泛参与，加深对公理和定义的理解.
（三）例题
例 已知：如图，点C，D在线段AB上，点C是AD的中点，点D是CB的中点.
求证：AD=CB.

向学生初步渗透推理意识，让他们去感知和体验推理的严谨性，为下节课进行严格的证明作铺垫，暂不要求学生掌握.
分析：由“点C是AD的中点，点D是CB的中点”，可以得到AC=CD=DB，进而可以得到AD=CB.
证明：因为 点C是线段AD的中点(已知)，
所以 AC=CD(线段中点的定义).
因为点D是线段CB的中点(已知)，
所以CD=DB(线段中点的定义).
所以AC=DB(等量代换).
所以AC+CD=DB+CD(等式的性质).
即AD=CB.
注：在等式或不等式中，一个量可以用与它相等的量来代替，这叫做“等量代换”.
在上面的证明过程中，我们根据的都是定义、性质和已知条件.在叙述中经常用到“因为”和“所以”这两个词，为了方便，今后，我们在证明时用符号“∵”表示“因为”，用符号“∴”表示“所以”.
（四）练习
和同学们一起学习课本的练习
（五）小结
引导学生总结本节的主要知识点，认识证明的必要性.
（六）板书设计
命题的证明（一）
观察与思考
一些概念：命题的证明、定理、公理
例题
练习
第2课时
证明是推理论证命题的过程，要步步有据.下面，我们以证明“对顶角相等”为例，说明命题证明的格式和步骤.
（一）例题
已知：如图，直线AB和CD相交于点O.
求证：∠1＝∠2.

分析：观察图，我们发现∠1，∠2都是∠AOD(或∠COB)的补角，由此便可得到∠1=∠2.
证明：∵∠1＋∠AOD=l80°(平角的定义)，∠2+∠AOD=180°(平角的定义)，
∴∠1+∠AOD＝∠2+∠AOD(等量代换)，
∴∠1=∠2(等式的性质).
（二）大家谈谈
回顾上面的证明过程，请你说说证明的步骤，并与同学交流.
一般地，证明一个几何命题有如下步骤，

结合对上节例题和本节证明“对顶角相等”过程的回顾与思考，让学生尝试说出证明的步骤.
（三）做一做
下面是证明“同角(或等角)的余角相等”的过程，请你在括号内填写各步推理的依据.
已知：∠1+∠=90°，∠2+∠＝90°.
求证：∠1＝∠2.
证明：∵∠1+∠=90°( )，
∴∠1= 90°－∠( ).
∵∠2+∠＝90°( )，
∴∠2= 90°－∠( ).
∴∠1＝∠2 ( ).
目的是让学生进一步熟悉证明的步骤和格式.可要求学生自己画出一个符合要求的图形，再结合图形填写.各步推理的依据.
依次为：已知，等式的性质，已知，等式的性质，等量代换.
（四）练习
1.请在括号内填上推理的依据.
已知：如图，∠ABC=∠A′B′C′，∠1=∠2.
求证：∠3=∠4.
证明，∵∠ABC=∠A′B′C′，∠1=∠2 ( )，
∴∠ABC－∠1=∠A′B′C′－∠2（ ）.
又∵∠3=∠ABC－∠1，∠4=∠A′B′C′－∠2，
∴∠3=∠4（ ）.

答案已知，等式的性质，等量代换.
2.已知：如图，直线EF和AB交于点D，∠B＋∠ADE=180°.
求证EF∥BC.

小亮在证明这个问题时是这样思考的，
要证EF∥BC，只需证∠B=∠ADF，而∠ADE＋∠ADF=180°，∠B＋∠ADE=180°，所以∠B=∠ADF，此题可证.
请按小亮的思路，写出证明过程.
答案∵∠B＋∠ADE=180° (已知)，
∴∠B =180°－∠ADE (等式的性质).
∵∠ADE＋∠ADF=180° (平角的定义)，
∴∠ADF =180°－∠ADE （等式的性质).
∴∠B =∠ADF (等量代换).
∴EF∥BC(同位角相等，两直线平行).
（五）小结
引导学生总结本节的主要知识点，做题的步骤以及思路.
（六）板书设计