八年级数学下：11.3证明(1)教案2苏科版.doc

11.3 证明(1)

一.设计思路
本节课通过阅读欧几里得的《几何原本》，通过向学生的介绍，让学生了解数学文化的博大与精深，从而使学生热爱数学、喜爱数学.让他们感受《原本》的丰富文化内涵，激发学生学习数学，热爱数学悠久文化的思想感情，培养学习数学自豪感和探究创新的精神.对于用推理的方法证实“同角的补角相等”“对顶角相等”这两个问题时，采取了分段提问的方法逐步加深对命题的剖析与理解，在此基础上，让学生知道证明与图形有关的命题时的一般步骤，从而发展学生由合情推理到演绎推理的思维过程，不断发展学生的演绎推理能力.
二.目标设计
1. 了解证明的基本步骤和书写格式；
2. 能从“同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”这两个基本事实出发，证明平行线的判定定理和平行线的性质定理，并能简单应用这些结论；
3. 感受数学的严谨性，结论的确定性，初步养成言之有理，落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力；
4. 感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.
三.活动设计
活动内容
师生互动思考与安排
阅读与思考：(P.167第一节)2000年前,古希腊数学家欧几里得(Euclid)在他编纂的举世闻名的巨著《原本》里，他挑选了一些数学名词和他认为正确的命题，并以此作为出发点，用推理的方法证实了其他命题的正确性.《原本》是人类智慧的伟大成就之一，它对科学和人类文明的发展产生了深远的影响.让我们尝试从基本事实出发，证实我们曾探索，发现的有关图形的许多性质的正确性！
说明：1.阅读《原本》激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍让学生了解数学文化的博大与精深，从而使学生热爱数学.喜爱数学.让他们感受《原本》的丰富文化内涵，激发学生数学，热爱数学悠久文化的思想感情，培养他们的学习数学自豪感和探究创新的精神.
2.使学生体会到自己所学的数学（几何）的起源，调动了学生的积极性，对于学生了解数学的历史有很深的价值.
3.使学生体会到几何演绎推理的基本方法，知道了几何中的很多正确的命题其实都是由几个正确的命题推理得出的，从而为后面的演绎推理的证明打下伏笔.提醒学生要注意培养自己良好思维习惯.
4.体会《原本》的在实际生活中的价值，它可以影响到我们生活的各个方面，它的价值远远不只数学，它推动了我们人类的文明.
问题一：请同学们先说出一些学过的真命题？然后从中找出一些真命题作为基本事实：
同位角相等，两直线平行.
两直线平行，同位角相等.
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
三边对应相等的两个三角形全等.
等式性质和不等式的性质.
说明：1.让学生自主说出学过的正确命题可以使学生从熟悉的和感兴趣的问题来设情境，引起学生探究热情，让学生亲身经历感受数学上的很多正确的命题，调动学生的积极性和主动性，增强了学生积极参与教学活动的意识，又能有助于培养他们的探究能力.
2.通过合作交流让学生感受数学中的真命题其实就是由那几个真命题为基础而得出的，鼓励学生积极发言，培养学生归纳概括的能力.
归纳：由此出发，我们可以证明我们曾探索、发现的有关平行的性质、三角形、四边形的许多性质是正确的.
问题二：如何用推理的方法证实“同角的补角相等”的正确性呢？
(1)这个命题的条件是什么？结论是什么？
(2)你能根据命题的条件画出相应的图形吗？
(3)要证明图1中的∠2与∠3相等，就需要知道它们有什么联系？你能说说它们之间的联系吗？
解：∵∠1与∠2互补(已知)，
∴∠1+∠2=180°(互补的定义)，
∴∠2=180°-∠1(等式性质).
∵∠1与∠3互补(已知),
∴∠1+∠3=180°(互补的定义),
∴∠3=180°-∠1(等式性质),
∴∠2=∠3(等量代换). 图1
说明：1.通过3个小问题的提问，引导学生逐步体会推理的思考方法.在讨论、交流中发展学生有条理的表达能力，然后教师示范推理的书写格式.
2.由于学生在前面已经对证明有所了解，所以这里有所侧重地先介绍推理的书写格式.
3.通过书写格式的规范化要求，使学生对证明的规范书写有所了解.
归纳：用推理的方法证实真命题的过程叫做证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）.
已经证明的定理也可作为以后推理依据.

四.例题设计
例1、如何证明“对顶角相等”
(1)仿照问题1提问
师生共同合作完成推理：
已知：如图直线AB、CD相交于点O.
求证：∠1=∠2.
证明：∵AB、CD相交于点O(已知),
∴∠1+∠BOD=180°,
∴∠1=180°-∠BOD,
∠2+∠BOD=180°,
∠2=180°-∠BOD,
∴∠1=∠2(等量代换).
师生共同讨论交流：
证明与图形有关的命题，一般有哪几个步骤？
(1)根据命题，画出图形；
(2)根据命题，结合图形，写出已知、求证；
(3)写出证明过程.
说明：1.组织学生讨论、交流，让学生自已认识如何有条理地表达推理过程.
2.在充分的交流中，引导学生从开始学习证明就意识到，证明不仅要步步有据，而且证明的依据必须是基本事实.有关概念的定义，已经证明的定理及已知条件，从中感受教学的严谨性.
3.这里教师要注意切不可讲解，可以让学生先思考，让学生表述，对于出现不规范的书写及非因及果等问题，教师要耐心引导.
例2证明：内错角相等，两直线平行.
已知：如图，直线a、b被直线C所截，∠1=∠2.
求证a∥b.
证明：∵∠1=∠2(已知),
∠1=∠3(对顶角相等).
∴∠2=∠3(等量代换),
∴a∥b(同位角相等，两直线平行).
定理：内错角相等，两直线平行.
尝试：证明“同旁内角互补，两直线平行”.
说明：1.前面已经证实了“对顶角相等”这个性质，所以根据此性质设计证明“内错角相等，两直线平行”这个定理的证明，学生还是比较容易接受的.
2.“尝试”的证明，让学生充分发挥自已的知识积淀，从而对证明的格式有更深的理解.这里也与前面一样要让学生有条理地表述“三段论”.
3.再次感受到人类对真理的执着追求和严谨的科学态度.

五.拓展练习
1.已知：如图，∠BAD=∠DCB,∠1=∠3.
求证：AD∥BC.

2.证明：同角的余角相等.
3.已知：如图，∠1=∠2，CE平分∠ACD.
求证：AB∥CD.