山东省枣庄市峄城区吴林街道中学七年级数学下册《第一章平方差公式》教案1 （新版）北师大版.doc

山东省枣庄市峄城区吴林街道中学七年级数学下册《第一章，平方差公式》教案1 （新版）北师大版

教学目标：
1．经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算.
2．通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，通过探索规律，归纳出利用平方差公式，解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、应用能力.
3．了解平方差公式的几何背景，培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.
教学重点与难点：
重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用.
难点：准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.
教法及学法指导：
有效的数学学习方法不能单纯地依赖模仿与记忆，我以问题为线索，让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识，让学生进一步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法.以探究体验的教学法为主，为学生创造一个良好的学习情境，指导学生深刻思考，细心观察，在解题时，一切从习题特点出发，根据习题特点寻找最佳解题方法，具体在运用公式计算时，要认清结构，找准a、b.
课前准备：多媒体课件，一张正方形纸板，剪刀
教学过程:
一、创设情境，做好铺垫
师：班级准备召开联欢会，班上生活委员周宁到商店买了10.2元/千克的糖果9.8千克，他一口报出了总价钱99.96元，请问同学们，周宁用了什么技巧算得这么快呢？
（学生讨论，部分预习效果较好的同学能够体会其中的道理，仍有部分学生很困惑）
师：这其中的奥秘，其实我们已经接触过了，通过本节课的继续学习我们都能像周宁一样聪明，能够迅速得到结果，我们开始今天的学习吧.
板书课题，平方差公式（2）
师：大家回顾一下上节课学习的平方差公式的内容，哪个同学来回答？
生1：平方差公式：
生2：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差.
生3：这个公式的结构特点是：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；
右边是两数的平方差.
师：大家回答的都很好.下面通过一组习题来复习一下大家的掌握情况.
（出示课件）
利用平方差公式计算：
（1）（2）
（3）（4）
（学生独立做题，师巡视.）
答案（1）（2）
（3）（4）
师：在运用平方差公式时要注意什么？
生：1、字母a、b可以是数，也可以是整式；
2、注意计算过程中的符号和括号.
设计意图：通过生活小情境，调动学生学习的热情，能迅速集中注意力投入到新知识学习中.在复习上节课知识的基础上，引入本节课的平方差公式的几何解释，并为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备.
二、师生合作，验证公式
师：同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少？
生：a2.
师：请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形.现在我们就有了一个新的图形(如下图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？

生：剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).
师：你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.
(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)
生：老师，我们拼出来啦.
师：讲给大伙听一听.
生：我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b)，长是a;下面的小长方形长是(a－b)，宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b)，我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如下图所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b)、(a－b)，面积为(a+b)(a－b).

师：比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？
生：这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.
生：这恰好是我们上节课学过的平方差公式.
生：上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.
生：用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.
师：由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.
设计意图：本环节通过几何拼图，给平方差公式一个几何背景，使学生在拼图和计算过程中发现规律，验证自己的猜想，使学生对平方差公式，有一个直观感受和认识，避免在公式的学习过程中单纯依赖背诵的弊病.通过拼图操作，让学生经历观察、交流的过程，倡导思维和算法多样化，让学生在图形直观分析的基础上，从代数角度推导公式，培养学生的逻辑推理能力，渗透了转化的数学思想.
三、观察思考，探究结论
师：出示课件
想一想：
(1)迅速计算下列各组算式，并观察它们的特点

(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(1)中算式算出来的结果如下

生：从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.
师：是不是所有的自然数都有这个特点呢？
学生再举例说明结论的正确性.
师：你能用字母表示这一规律吗？
生：设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1)=a2－1.
师：用上节课的平方差公式也能验证.这里的a只能是一个自然数吗？
(同学们交流讨论)
生：a可以是任意数.
师：很好！下面运用你得到的结论来计算.(出示课件)
例3用平方差公式进行计算：
（1）103×97；（2）118×122
生：因为103=100+3，97=100－3，
所以103×97
=（100+3）（100-3）
=1002-32
=9991
第(2)题学生独立完成.
118=120－2，122=120+2
118×122
=(120－2)(120+2)
=1202－4
=14400－4
=14396.
师：我们再来看一个例题(出示课件).
例4计算：
（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2；（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)
师生共同分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.
解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2
=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4
(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)
=(2x)2－52－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x-25
注意：2x(2x-3)的结果要用括号括起来.
设计意图：想一想中通过特例进行归纳，让学生经历由特殊到一般的探究过程，最后利用符号表示出一般规律.这一过程的经历，让学生体会到符号运算，在验证猜想时的重要作用，也为例3数的简便运算做好知识的铺垫.例3运用平方差公式，把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，体现了转化的思想和数式通性，进一步巩固平方差公式，体会符号运算对于解决问题的作用．例4运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用.
随堂练习
计算：
（1）704×696(2)
（3）
(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，同桌互查互纠)
设计意图：习题的设置是巩固提高的环节，为了培养学生基本的运算技能，设计必要练习，使学生准确的运用平方差公式，进行简单的混合运算，并能明白每一步计算的算理，提高综合运用公式的能力.
四、拓展延伸，发散思维
从前有一个农民向地主租了一块“十字型”土地，如下面左图所示.为了便于种植，他想换一块面积相同的长方形土地，你能帮他算一下这块长方形的土地长和宽分别是多少吗？

学生以小组为单位展开讨论.
解法一：
“十字型”土地面积应为a2-4b2，逆用平方差公式可得a2-4b2=(a+2b)(a-2b)
所以，长方形土地的长应为a+2b，宽应为a-2b.
解法二：
将“十字型”土地分割可以重新拼成长方形，如图

所以，长方形土地的长应为a+2b，宽应为a-2b.
设计意图：学生能根据平方差公式的形式，逆用公式.提高学生灵活运用公式，综合运用公式的能力.
五、课堂小结，反思提高
师：同学们，这节课你有哪些体会和收获？
生：我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.
生：平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式.
生：我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b)，算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.
师：大家说的很好，以后在学习过程中要善于总结问题，积累知识.
设计意图：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中遇到的挫折以及积累的经验，构建自己的知识体系，同时提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识的目的.
六、达标检测，评价矫正
计算：
（1） 2001×1999－20002
（2） (3mn+1)(3mn－1)－8m2n2
（3） －(x+8)
设计意图：通过检测及时获知学生对所学知识掌握情况，，及时反馈，查漏补缺.
七、布置作业，落实目标
必做题：课本习题1.10的第1，2题.
选做题：公式的逆用
(1)(x+y)2－(x－y)2 (2)252－242
板书设计
1.5平方差公式（2）
平方差公式的推导

例3

例4
学生板演区

教学反思：
本节课我从一个生活情境出发激起学生的学习热情和求知欲，紧接着从复习旧知识入手，通过拼图、速算比赛，调动学生学习的积极性，活跃了课堂气氛，也收到了一定的效果.在发现学生不积极时，适时鼓励，让学生知道正确与否并不重要，重在参与.学生在与同学交流时，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，取得了不错的效果.学生的参与度是本节课的亮点.
回顾这一节课，有两点做的不足，一是学生参与不足，二是教师急于求成.学生参与不足是因为整个活动的操作环节过于匆忙急于完成教学任务，进而导致学生探索的效果不理想，当我看到学生说不出来时，急于求成，就替学生完成了有难度的活动.而难度都让教师解决了，学生的锻炼机会就没有了.设计探索活动的意义就没有了.
解决这两点不足，我觉得首先在备课之初，就要考虑选择的探索活动对于学生而言，难度是否适中，如果太难了，必然影响教学效果.另一个就是课前准备充分，如果教师能够组织学生准备一些教具，这样学生就能参与进来，有了更加直接的感性认识，探索活动的效果必然会好些，教学目标“过程与方法”才能有效的落实.