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二次函数有关练习题
1.已知二次函数的图象经过点A（－4，1），求：
（1）这个二次函数的解析式；
（2）当x＝2时y的值.

2.如图，直线l经过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数的图象在第一象限内相交于点P，若△AOP的面积为，求二次函数的解析式.

3.如图，C、D是抛物线上的两点，A（－5，0）、B（3，0）是x轴上的两点，且四边形ABCD是平行四边形，DC与y轴交于点E（0，6）.
（1）求a的值；
（2）求直线BC的解析式.

4.如图所示，二次函数的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上.
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为（x，y），求矩形ABCD的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

5.已知抛物线的解析式满足下列四个条件：①；②；③；④.
（1）求这个函数的解析式；
（2）如图，设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C，P是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴与点D，且OD＝，试比较S△AOD与S△PDC的大小.

6.如图，已知抛物线经过A（－1，0），B（1，0），M（0，1）三点，直线l平行于x轴，且与x轴交于C、D两点，连接AD、BC，若C点的横坐标是，求梯形ABCD的面积.

7.如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点，二次函数的图象经过B、C两点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）结合函数的图象，说明当x取何值时，y的值大于0？

8.如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OA＝2，OC＝3.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△BDP的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

9.如图，已知抛物线经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴，与抛物线相交于点N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

10.根据已知条件求二次函数的解析式.
（1）抛物线经过（0，1），（－1，0），（1，0）三点；
（2）抛物线经过（－1，11），（2，8），（0，6）三点；
（3）抛物线的顶点坐标是（3，－1），且经过点（2，3）；
（4）抛物线的对称轴为直线x＝2，且经过点（1，4）和（5，0）；
（5）抛物线的顶点纵坐标是3，且经过点（－3，15）和（－4，6）.

11.如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

12.已知抛物线，其顶点在x轴上方，经过点（－4，－5），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，且方程的两根的平方和等于40.
（1）求抛物线的解析式;
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝2S△CAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

13.如图，已知抛物线的顶点A在直线上.
（1）求抛物线的顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C在D的左侧），判断△ABD的形状.
（3）在直线上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

14.如图，二次函数的图象与x轴交于A（，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，使得以A、C、D、B四点为顶点的四边形为等腰梯形，请写出点D的坐标（不要写过程）；
（3）在此抛物线上是否存在一点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

15.阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫做△ABC的“水平宽”（用a表示），中间的这条直线在△ABC的内部的线段的长度叫做△ABC的“铅垂高”（用h表示）.我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝.，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高的乘积的一半.
解答下列问题：
如图2，抛物线的顶点C的坐标为（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线在第一象限内的一个动点，连接PA、PB，当P点运动到抛物线的顶点C时，求△CAB的铅垂高及S△CAB；
（3）是否存在一点P，使S△PAB＝ S△CAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

16.如图，抛物线与x轴于A、B两点，交y轴于点C，三个交点的坐标分别为A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）.
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为线段BD上一动点，过P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值以及此时点P的坐标.