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二次函数综合练习题
1．如图，抛物线和都经过轴上的A、B两点，两条抛物线的顶点分别为C、D．当四边形的面积为40时，的值为 ．
（第13题） （第14题）

1题图 2题图 3题图 4题图
2．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y＝、y＝所截．当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 平方单位．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．过点作BC∥x轴，交抛物线于点，过点作AD∥y轴，交于点，点在下方的抛物线上（不与重合），连结，则面积的最大值是 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点.若AB∥x轴，则以AB为边的正方形ABCD的周长为 .
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为,与轴分别交与，两点.过顶点分别作轴于点，轴于点，连结，于点，则和的面积和为________.

（第14题）

（第14题）

5题图 6题图 7题图 8题图 9题图
6．如图，抛物线交x轴于G、F，交y轴于点D．在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C．四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上另一点.且AB//x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 .
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线＝与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线＝于点B、C，则BC的长值为 .
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线.点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）.若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为 （用含a的式子表示）.（第13题）
（第14题）

10．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形连结则对角线的最小值为 ．

10题图 11题图 12题图 13题图
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3）.D是抛物线上一点，且在x轴上方. 则△BCD的最大值为 ．
12．如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则正方形EFGH的边长为　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与交于点.过作轴的垂线，分别交两抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧），线段的长为 .
14．如图，P为抛物线上对称轴上右侧的一点，且点P在轴上方，过点P作PA垂直轴与点A，PB垂直轴于点B，得到矩形PAOB．若AP1，求矩形PAOB的面积．

15．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边BC的长为20cm，边AC的长为hcm，在此三角形内有一个矩形CFED，点D、E、F分别在AC、AB、BC上，设AD的长为xcm，矩形CFED的面积为y(单位：cm2)．
(1)当h等于30时，求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)在(1)的条件下，矩形CFED的面积能否为180cm2？请说明理由；
(3)若y与x的函数图象如图②所示，求此时h的值．
A
(第25题图②)
B
C
E
F
D
(第25题图①)
O
10
150
x(cm)
y(cm2)
(参考公式：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当时，y最大(小)值＝．)

16．如图，梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，∠A=45°，AB=30，BC=x，其中．作DE⊥AB 于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．
（1）用含有x的代数式表示BF的长．（2分）
（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．（3分）
（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．（2分）
【参考公式：二次函数图象的顶点坐标为（）】

17．明明在矩形纸片ABCD上为“数学爱好者协会”设计的徽标如图所示，其中AB=5，AD=6．曲线BMH是抛物线的一部分，点H在BC边上．抛物线的对称轴平行于AB，BH=4，顶点M到BC的距离为4．四边形DEFG是正方形，点F在抛物线上，E、G 两点分别在AD、CD边上．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
（2）求正方形DEFG的边长．
（3）将矩形纸片沿FG所在的直线折叠，点M能否落在BC上，请通过计算说明理由．

18．如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边DE落在轴的正半轴上，边AG落在轴的正半轴上， A、B两点在抛物线上．
（1）写出点B的坐标．
（2）求抛物线的解析式．
（3）将正方形CDEF沿轴向右平移，使点F落在抛物线上，求平移的距离．

19．从三个多项式，，中，任取两个多项式求和，设其和为．
（1）求所有可能的与的关系式．
（2）从(1)中选出一个使有最大值的关系式，并求出的最大值．
（3）在平面直角坐标系中，过点作轴的平行线，当直线与(1)中所有关系式的函数图象有个公共点时，的值可以为 （写出一个即可）．
（4）对于(1)中所有的关系式，在同时满足y随x的增大而增大时，直接写出x的取值范围．
【参考公式：二次函数图象的顶点坐标为（）】

20．如图，点A、B分别为抛物线、与y轴交点，两条抛物线都经过点C（6，0）．点P、Q分别在抛物线、上，点P在点Q的上方，PQ平行y轴．设点P的横坐标为m．
（1）求b和c的值．
P
A
B

Q
O
x
C
y
（2）求以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时m的值．
（3）当m为何值时，线段PQ的长度取得最大值？并求出这个最大值．
（4）直接写出线段PQ的长度随m增大而减小的m的取值范围．

21．如图，平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A．P为抛物线上一点，且与点A不重合．连结AP，以AO、AP为邻边作□OAPQ，PQ所在直线与x轴交于点B．设点P的横坐标为．
（1）点Q落在x轴上时m的值．
（2）若点Q在x轴下方，则为何值时，线段BQ的长取最大值，并求出这个最大值．
【参考公式：二次函数的顶点坐标为（）】

22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B（2，0）．P为抛物线在x轴上方的一点（不落在y轴上），过点P作PD∥x轴交y轴于点D，PC ∥y轴交x轴于点C．设点P的横坐标为m，矩形PDOC的周长为L．
（1）求b和c的值．
（2）求L与m之间的函数关系式．
（3）当矩形PDOC为正方形时，求m的值．

23．在直角坐标系中，抛物线经过点（0，10）和点（4，2）.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)如图，在边长一定的矩形ABCD中，CD=1，点C在y轴右侧沿抛物线 滑动，在滑动过程中CD∥x轴，AB在CD的下方.当点D在y轴上时，AB落在x轴上.
①求边BC的长.
②当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标.

24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B（2，0）．P为抛物线在x轴上方的一点（不落在y轴上），过点P作PD∥x轴交y轴于点D，PC ∥y轴交x轴于点C．设点P的横坐标为m，矩形PDOC的周长为L．
（1）求b和c的值．
（2）求L与m之间的函数关系式．
（3）当矩形PDOC为正方形时，求m的值．

.
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点（0,6），其对称轴为直线x=．在x轴上方作平行于x轴的直线l与抛物线交于A、B两点(点A在对称轴的右侧)，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C． 设A点的横坐标为m．
（1）求此抛物线所对应的函数关系式．
（2）当m为何值时，矩形ABCD为正方形．
（3）当m为何值时，矩形ABCD的周长最大，并求出这个最大值．

26．如图，抛物线与直线交于、两点，点在轴上，点的横坐标是．点在直线上方的抛物线上，过点分别作轴、轴，与直线交于点，以为边作矩形，设点的坐标为．
（1）点的坐标是 ，点的坐标是 ；
（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（3）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（4）请直接写出矩形的周长最大时的值．

27．如图，经过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．
（1）求点A的坐标.
（2）找出x轴上相等的线段，并写出它们的长度.（可用含m的代数式表示）
（3）设△CDP的面积为S，求S与m之间的函数关系式．

28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A和 x轴平行的直线与抛物线的另一个交点为B．P为抛物线上一点（点P不与A、B重合），设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S．
（1）求点B的坐标．
（2）求S与m之间的函数关系式．
（3）当时，求m的值．

29. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交直线交于点B.抛物线分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上.
(1)求点C、D的纵坐标.
(2)求a、c的值.
(3)若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长.
(4)若Q为线段OB或线段AB上一点，PQx轴.设P、Q两点之间的距离为d（d>0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围.
【参考公式：二次函数（a≠0）图象的顶点坐标为】

30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点（1，－1），且对称轴为直线.点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧.PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB=PA+1.设点P的横坐标为m.
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式.
（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）.
（3）请探究PA+QB=AB是否成立，并说明理由.
（4）抛物线经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB分成面积比为1:5的两部分，直接写出此时m的值.

31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2 与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式.
（2）求点C在这条抛物线上时m的值.
（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN.
①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标.
②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE, 当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值.
【参考公式：抛物线（a≠0）的顶点坐标为】

32．如图，在平面直角坐标系中，梯形的顶点、B、D的坐标分别为，，，且．一条抛物线经过C、D两点，其顶点在轴上．点从点出发以每秒个单位的速度沿向点运动，到点后又以每秒个单位的速度沿向点运动，到点停止；同时，点从点出发以每秒个单位的速度沿运动，到点停止．过点作轴的平行线，交边或于点，交抛物线于点．设P、E两点运动的时间为(秒)．
（1）写出点的坐标，并求这条抛物线的解析式．
（2）当点和点之间的距离为时，求的值．
（3）直接写出使△成为直角三角形时值的个数．
（4）设P、Q两点之间的距离为，当≤≤时，求的取值范围．

33．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分别为（0，1）、（2，4）．点P从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t（秒），△PQR的面积为S（平方单位）．
（1）求抛物线对应的函数关系式．
（2）分别求t=1和t=4时，点Q的坐标．
（3）当0＜≤5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值．
【参考公式：抛物线的顶点坐标为，．】

34．如图①，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第一象限上的一个点，连结OA，过点A作AB⊥OA，交y轴于点B，设点A的横坐标为n．
探究：
（1）当n=1时，点B的纵坐标是 ；
（2）当n=2时，点B的纵坐标是 ；
（3）点B的纵坐标是 （用含n的代数式表示）．
应用：
如图②，将△OAB绕着斜边OB的中点顺时针旋转180°,得到△BCO．
（1）求点C的坐标（用含n的代数式表示）；
（2）当点A在抛物线上运动时，点C也随之运动．当1≤n≤5时，线段OC扫过的图形的面积是 ．
y
O
x
A
C
B
（图②）
y
O
x
A
B
（图①）
（第23题）

35．如图①，正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（0，10）、（8，4），顶点C、D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E（4，0）出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求正方形ABCD的边长．（2分）
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P、Q两点的运动速度．（2分）
（3）求（2）中面积S(平方单位)与时间(秒)的函数关系式及面积S最大值时点P的坐标．（4分）
（4）若点P、Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使∠OPQ90o的点P有__________个．（2分）
（抛物线的顶点坐标是(，)．）

图① 图②

36．如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上，顶点A的坐标为（3，3），AD为斜边上的高．抛物线与直线交于点C，点C的横坐标为6．点P在x轴的正半轴上，过点P作PE∥y轴，交射线OA于点E．设P点的横坐标为m，以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S．
（1）求OA所在直线的函数解析式．
（2）求a 的值．
（3）当时，求S与m的函数关系式．
（4）如图②，设直线PE交射线OC于点R，交抛物线于点Q，以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQMN，其中RN=．直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．
图②

37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且点的坐标为点在这条抛物线上，且不与两点重合，过点作轴的垂线与射线交于点，以为边作使点在点的下方，且设线段的长度为，点的横坐标为．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）求与之间的函数关系式；
（3）当的边被轴平分时，求的值；
（4）以为边作等腰直角三角形，当时，直接写出点落在的边上时 的值．

38.如图，在平面直角坐标系中.有抛物线和.抛物线经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B.P是抛物线上一点，且在x轴上方.过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q.过点Q作PQ的垂线交抛物线于点(不与点Q重合)，连结.设点P的横坐标为m.
（1）求a的值.
（2）当抛物线经过原点时，设△与△OAB重叠部分图形的周长为l.
①求的值.
②求l与m之间的函数关系式.
（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、Q、为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h的值.

39．如图①，直线l:(<，>)与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线.
（1）若l：则P表示的函数解析式为 ，若P：，则l表示的函数解析式为 .
（2）求P的对称轴（用含m,n的代数式表示）；[来*源:中^教%@网#]
（3）如图②，若l：，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上.当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM.若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式.
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（图①） （图②） （图③）

40．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线的顶点在射线上（且不与点重合）.为射线上点右上方一点，且点和点关于轴对称，以为边向左侧作矩形，且
(1) 用含的代数式表示
(2) 设抛物线与轴交于点，求的最大值.
(3) 当抛物线经过矩形的一个顶点时，求抛物线所对应的函数表达式.
(4) 作射线将矩形分为两部分，设这两部分图形的面积比为当≤≤时，直接写出的取值范围.

A
B
C
D
O
x
y

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