教学课题-三角形解题思路.doc

教学课题：探究解三角形的解题的思路方法 首师大附属丽泽中学 李素红 教学目标： 1. 通过添加辅助线，构造全等三角形、含30o角的直角三角形，解决三角形中有关证明和计算问题，让学生进一步体会应用构造法解题的思路方法 . 2. 根据题目的特征，寻找知识间的内在联系，合理选择适当的解题方法 . 教学重点： 构造全等三角形和特殊的直角三角形解决相关问题 . 教学难点： 添加辅助线，构造出全等三角形和特殊的直角三角形 . 教学过程： 我们已经学习了全等三角形的知识，全等三角形在证明中的作用是什么呢？ 预设：证明两条线段 ( 角 ) 的相等关系，转移线段和角 有时，我们需要通过添加辅助线，先构造出全等三角形，再解决问题 . 这节课我们就通过几个例题让大家初步了解如何添加辅助线构造全等三角形的基本方法 . 例题详解： 例 1 已知：如图 1 ， AB = AD ， CB = CD . (1) 求证： B = D (2) 如图 2 ，延长 DC 、 BC 分别交 AB 、 AD 于 E 、 F 两点，试猜想 CE 与 CF 的大小关系并证明 引导学生分析： （ 1 ） 预设： 法 1. 要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等 . 本题中 要证明 B = D 在已知条件中缺少明显全等的三角形 . 而连结 AC 以后， AC 作为公共边，根据题目的已知条件可以证明 ABC ADC ，进而 B = D . 法 2. 连结 BD ，通过等边对等角，再用角等量减等量得到 ABC = ADC 更为简单 . （ 2 ） 猜想 CE = CF ，在连结 AC 证明了 ABC ADC 以后，得到 ABC = ADC ，再去证明 EBC FDC ，进而证明 CE = CF . 证明略 . 小结 ：通过例 1 我们初步体会了添加辅助线的必要性，例 1 ( 1 )( 2 ) 两个小问，从添加辅助线构造出全等三角形，为后面解题准备了边等、角等的条件，找到了解决问题的方法 . 练习：已知，如图 3 ， BE = DF ， DE = BF ，求证： E = F 分析： 根据已知条件 BE = DF ， DE = BF ，连结公共边 BD ( 或 EF ) ，可以发现 EBD FDB ( 或 EBF FDE ) ，在这里我们发现添加辅助线的方法非常类似 . 但哪种更为简洁呢？请同学们谈谈自己的看法 . 小结： 上述例题和练习体现了“遇水搭桥”的辅助线添加方法，分析题目的条件和结论，发现只需要添加公共边就可以达到构造全等三角形，进而证明线段 ( 或角 ) 相等的结沦 . 板书：（ 一、添加公共边，构造全等三角形） 前面我们曾经见过这样一道习题 . 已知：如图 4 ， AD 是 ABC 的中线，延长 AD 到 E ，使 AD = DE ，连结 BE . 求证： BE = AC . 其中，条件 “ 延长 AD 到 E ，使 AD = DE ” 的作用是什么？ 预设： 构造全等三角形 . 我们看看如何解决例 2 的问题 . 例 2 如图 5 所示， AD 是 ABC 的中线， BE 交 AC 于 E ，交 AD 于 F ， 且 AE = EF . 求证： AC = BF .分析： 欲证 AC = BF ，只须证 AC 、 BF 所在两个三角形 全等，显然图中没有含有 AC 、 BF 的两个全等三角形图形， 而根据题目条件去构造两个含有 AC 、 BF 的全等三角形也 并不容易 . 这时我们想到在同一个三角形中等角对等边， 若能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明 转移到同一个三角形以后的这两条线段所对的角相等即可 . 思路一： 以三角形 ADC 为基础三角形，转移线段 AC ，使 AC 、 BF 在三角形 BFH 中 . 法一 ：延长 AD 到 H ，如图 6 ，使得 DH = AD ，连结 BH ，证明 ADC 和 HDB 全等，得 AC = BH . 通过证明 H = BFH ，得到 BF = BH . 证明：延长 AD 到 H ，使得 DH = AD ，连结 BH. D 为 BC 中点 , 法二 ：过 B 点作 BH 平行 AC 与 AD 的延长线相交于点 H ，证明 ADC 和 HDB 全等 . 小结： 对于含有中点的问题，通过 “ 倍长中线 ” 可以得到两个全等三角形 . 而过一点作己知直线的平行线，能起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用 . 思路二 : 以三角形 BFD 为基础三角形 . 转移线段 BF ，使 AC 、 BF 在两个全等三角形中 . 法三 ：如图 7 ，延长 FD 至 H ，使得 DH = FD ，连结 HC . 证明 CDH 和 BDF 全等 . 证明：延长 FD 至 H ，使得 DH = FD ，连结 HC . 法四 ：过 C 点作 CH 平行 BF 与 AD 的延长线相交于点 H ，证明 CDH 和 BDF 全等 . 小结： 通过一题多种辅助线的添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形 . 从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等 . 板书 : ( 二、 “ 倍长中线 ” 或作 “ 平行线 ” 构造全等三角形 ) 变式：如图 8 所示， AD 是 ABC 的中线， BE 交 AC 于 E ，交 AD 于 F ，且 AC = BF . 求证： AE = EF . 分析：调换己知和求证是几何中提出新问题的一种常规做法 . 请同学们课下完成 . 通过练习 (1) 巩固例 2 中典型辅助线的作法 . 证明：辅助线已作出，证明略 通过上述例、习题，我们能体会到在几何问题中，常通过添加辅助线构造基本图形解题 . 老师手里的30o三角板是一个特殊的三角形，它都有哪些性质？ （带30o三角板） 预设 ：30o的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半”我们接下来通过例题，看看谁能很快构造出含有30o角的直角三角形，巧妙解题 . 例 3 ：如图 10 ，在 ABC 中，, 等腰直角三角形ACD的斜边AD在AB边上，求BC的长 分析： 本题含有30o角的条件，所以需作辅助垂线，构造出一个含有30o角的直角三角形来，这是解决本题的关键所在 解：过点C作CEAB，垂足为E因为AC=CD,ACD=90o, 所以，因为CEAB， ACD 是等腰直角三角形，所以. 在 Rt BCE 中， B 30o，所以BC=2CE=2 例 4 ：如图 11 ，四边形 ABCD 中， A 60 ， B D 90 ， AD 8 ， AB 7 ， 求 BC CD 的值 . 分析： 注意到条件 A 60 ， B D 90 ，联想到含30o角的直角三角形的性质，延长AB和DC，就可以构造出两个含30o 角的直角三角形来 小结： 含有30o角条件，求边长、 2 倍关系问题，一般可以通过构造30o角的直角三角形解决 . 板书 ： （ 三、通过添加辅助线构造出含30o角的直角三角形） 小结： 1. 在学习数学知识时，我们要关注条件、图形间的联系，联想相关的定理，透过表面现象挖掘深层次的问题. 2. 解决三角形问题的思想方法：“由边等构造等腰三角形”，“由中线（倍长或平行）构造全等三角形”等 , 并以此展开推理论证的研究 ， 提高自己的能力. 3. “构造法”通过添加辅助线把几何问题中的分散条件集中在我们需要的基本图形中，打开了解决问题的思路和方法. 【教学案例】探究解三角形的解题的思路方法 例题详解： 例 1 ：已知：如图 1 ， AB=AD ， CB=CD ，(1) 求证： B= D (2) 如图 2 ，延长 DC 、 BC 分别交 AB 、 AD 于 E 、 F 两点，试猜想 CE 与 CF 的大小关系并证明 练习：已知，如图 3 ， BE=DF ， DE=BF ，求证： E= F 小结： _ 前面我们曾经见过这样一道习题 . 已知：如图 4 ， AD 是 ABC 的中线，延长 AD 到 E ，使 AD=DE ，连结 BE ， 求证： BE=AC 其中，条件“延长 AD 到 E ，使 AD=DE ”的作用是什么？ 例 2 如图 5 所示， AD 是 ABC 的中线， BE 交 AC 于 E ，交 AD 于 F ，且 AE=EF. 求证： AC=BF. 小结： _ 变式：如图 8 所示， AD 是 ABC 的中线， BE 交 AC 于 E ，交 AD 于 F ，且 AC=BF. 求证： AE=EF. 分析：调换己知和求证的顺序是几何中提出新问题的一种常规做法 . 请同学们课下完成 . 练习：已知：如图 9 ， AB=AC ， E 为 AB 上一点， F 是 AC 延长线上一点，且 BE=CF ， EF 交 BC 于点 D 求证： DE=DF 例 3 ：如图 10 ，在 ABC 中， B=30o , , 等腰直角三角形ACD的斜边AD在AB边上，求BC的长 例 4 ：如图 11 ，四边形 ABCD 中， A 60 ， B D 90 ， AD 8 ， AB 7 ，求 BC CD 的值 . 【课堂实录】【案例评析】“三角形”是平面几何中的重点内容，是学习四边形等其它数学知识必不可少的基础。利用三角形全等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，证明线段相等、角相等及解决一些简单的计算问题的方法是本章学习中需掌握的重要方法。 本节课的教学中，李素红老师利用 4 个例题和相应的练习，围绕添加辅助线构造全等三角形或含30o角的直角三角形解决有关的证明和计算。本节课，采用了“教师组织引导，学生自主探索、合作交流”的方式进行教与学，并通过变式练习促使学生思考，掌握添加辅助线的方法。 一、本节课的三个特点 1. 例、习题选择层次性较强 李素红老师选择了四个例题，例 1 的第（ 1 ）小题是最简单的证明角等的问题，可以从不同的角度进行思考。若证明两个角所在的两个三角形全等，则可添加辅助线公共边 AC ，构造全等三角形 ; 若利用等腰三角形的性质，需要添加辅助线 BD , 构造有公共底边的两个等腰三角形。例 1 的第（ 2 ）小题，是一个开放型问题，但需要用到（ 1 ）的结论。例 1 后的练习可帮助学生进一步熟悉解题思路和方法。 接着，李素红老师给出题目： 已知：如图， AD 是 ABC 的中线，延长 AD 到 E ， 使 AD = DE ，连结 BE . 求证： BE = AC . 通过此题，使学生体会“三角形中线”的作用，“倍 长中线”可构造全等三角形，为例 2 做好铺垫。 例 2 是在有三角形中线的条件下，要证明的两条相等线段不在两个三角形中，需要“倍长中线”，通过全等三角形，将其中一条线段转移到与另一条线段在同一个三角形中，使问题得到解决。 例 3 和例 4 是在三角形中有特殊角“30o”、“45o”或“60o”的条件下，作垂线，构造直角三角形，根据直角三角形的性质使问题得到解决。 从例题到练习，层次清楚，难易适当，有利于学生掌握几何中的基本图形和常用方法。 2. 注重题目归类，方法小结 本节课中， 李素红老师通过例、习题的教学，引导学生及时小结。在直线型中证明线段相等或角相等时的方法，及如何添加辅助线；当三角形中含有特殊角时，如何添加辅助线。在证明线段或角等时，作辅助线公共边或倍长中线，构造全等三角形或等腰三角形是常用方法。 李素红老师通过例 1 引导学生总结出“添加公共边，构造全等三角形”，“遇水搭桥” 的辅助线添加方法，进而证明线段 ( 或角 ) 相等的结沦。 通过例 2 引导学生总结出“倍长中线”或作“平行线”构造全等三角形的方法。 对于含有中点的问题，通过“倍长中线”可以得到两个全等三角形，而过一点作己知直线的平行线，能起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用 。 通过一题多种辅助线的添加方法，使学生进一步体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。从图形变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对某一个三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造全等。 通过例 3 和例 4 引导学生总结出通过添加辅助线构造出含30o角的直角三角形的方法。当已知含有30o角的条件，求边长或线段的 2 倍关系时，一般可以通过构造含30o角的直角三角形解决 。 在整节课的教学中，注重了基本图形和基本方法的教学。 3. 注重学生的自主学习过程 李素红 老师这节课注重引导学生自主学习，学生是主角，教师是组织者、辅助者。教学中学生之间、师生之间充分交流，展示学生的思维过程，强调学生的主动参与。 二、需改进的方面 对于几何教学，我认为有两点值得注意： 1. 学生口述解题思路是很有必要的，但只是口述表达，还不能使更多的同学参与思维过程，且不利于基础知识和方法的落实。某个同学口述时，其它同学在完成自己的练习，没有达到交流、展示思维过程的目的。应将口述表达训练和书写解题过程结合起来。 2. 只用 PPT ，不利于学生的思维训练。 PPT 一页一页翻过去，学生不会有深刻印象。几何教学很重要的一步是标图、分析题目中的已知和所求（或求证）的关系。而 PPT 无法灵活的根据需要进行标图。教学中，应将多媒体和板书有机结合，促进对学生的思维训练。 小结： 1. 在学习数学知识时，我们要关注条件、图形间的联系，联想相关的定理，透过表面现象挖掘深层次的问题 . 2. 解决三角形问题的思想方法：“由边等构造等腰三角形”，“由中线（倍长或平行）构造全等三角形”等 , 并以此展开推理论证的研究 ， 提高自己的能力 . 3. “构造法”通过添加辅助线把几何问题中的分散条件集中在我们需要的基本图形中，打开解决问题的思路和方法 .