三角形全等证明思路.doc

证明三角形全等的常见思路全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见思路，进行分析。一、已知一边与其一邻角对应相等1证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C .求证：AF=DE。证明 BE=CF（已知）， BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。在ABF和DCE中， ABFDCE（SAS）。 AF=DE（全等三角形对应边相等）。2证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。例2 已知：如图2，D是ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FCAB。求证：AE=CE。证明 FCAB（已知），ADE=CFE（两直线平行，内错角相等）。在ADE和CFE中， ADECFE（ASA）. AE=CE（全等三角形对应边相等）3证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。例3 （同例2）.证明 FCAB（已知）， A=ECF（两直线平行，内错角相等）.在ADE和CFE中， ADECFE（AAS）. AE=CE（全等三角形对应边相等）。二、已知两边对应相等1证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，1=2。求证： ABDACE.（原九义材几何二册32页8题）；证明 1=2， ADB=180-1， AEC=180-2（邻补角定义），ADB = AEC， 在ABD和ACE中， ABDACE（SAS）.2证第三边对应相等，再用SSS证全等。例5 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN， BM=DN。求证： AMCN，BMDN。（原九义教材几何二册45页10题）证明 AC=BD（已知） AC+BC+BC， 即 AB=CD.在ABM和CDN中， ABMCDN（SSS） A=NCD，ABM=D（全等三角应角相等）， AMCN，BMDN（同位角相等，两直行）。三、已知两角对应相等1证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等。例6 已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，B=E，ACB=DFE.求证： AB=DE， AC=DF.（原九义教材几何二册44页4题，有改动）证明 FB=CE（已知） FB+FC=CE+FC， 即 BC=EF， ABCDEF（ASA）. AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）2证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等。例7 已知：如图6，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，A=B，ACE=BDF. 求证：ACEBDF.证明 OA=OB，OE=OF已知），OA-OE=OB-OF，即 AE=BF，在ACE和BDF中， ACEBDF（AAS）.四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等例8 已知：如图7，在ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，B=C 证：ABDACE.证明AD=AE（已知） 1=2（等边对等角）， ADB=180-1，AEC=180-2（邻补角定义）， ADB=AEC，在ABD和ACE中，ABDACE（AAS）.4怎样证明两个角相等？解答（1）利用两个三角形全等是证明两角相等的最基本的方法；（2）利用两个角都与第三个角相等；（3）利用等腰三角形两个底角相等；（4）利用平行四边形对角相等；（5）利用角平分线的性质；（6）利用圆上同弦所对的优角相等，劣角相等例 如图，已知：在正方形ABCD中，AC、BD相交于O，E、F分别是对角线AC、BD上的点，且OE=OF求证：ACF=DBE分析：要证ACF=DBE，只要证明RtOFCRtOEB，即可得证证明 ABCD为正方形，对角线AC、BD垂直平分在RtEOB和RtOFC中，OE=OF，BO=OCRtEOBRtOFCDBE=ACG6怎样证明两条线段相等？解答 证明两条线段相等的常用方法有：（1）利用两个三角形全等来证两条线段相等；（2）利用等腰三角形两腰相等；（3）利用第三条线段使两线段分别与之相等；（4）利用平行四边形对边相等的性质当然，还有其他方法请看下例：例 如图所示，已知：在ABC中，C=90，AC=BC，D是AB上的一点，AD=AC，DEAB交BC于E求证：BD=DE=CE证明 连接CDAD=AC，ACD是等腰三角形，ACD=ADC又DEAB，ACB=ADE=90，ECD=ACEACD，EDC=ADEADC，ECD=EDCECD是等腰三角形，EC=ED又四边形ADEC内角和为360，A+CED=180而CED+BED=180，A=BED又AC=BC，A=BBED=BBED为等腰三角形DE=DBDE=DB=EC说明：上述证法是运用等腰三角形两腰相等的性质，通过证ACD、ECD、DBE为等腰三角形而证得结论在证CE=DE时，亦可运用全等三角形证明，即只须连接AE，证ADEACE例2 如图 2，已知AC、BD交于E，A=B，1=2求证：AE=BE正确证明：在ADC和BCD中，A=B， DC=DC，2=1，ADCBCDAD=BC在ADE和BCE 中，AD=BC，A=B，AED=BEC，ADEBCEAE=BE