全等三角形的证明复习.docx

三角形的初步知识
复习目标：1、理解并掌握三角形的有关概念：三角形及分类，三角形的角平分线、中线和高线，全等三角形，表示法包括三角形、三角形全等的符号、字母表示法。
2、对三角形的有关概念，不仅要会认，还要求会画，会用符号、字母表示，会用比较严格的几何语言表示。
3、对三角形边、内角、外角的性质，不仅要理解性质的本身，还要求会说明理由，并简单运用。
4、作图及尺规作图。
教学过程：
类型之一　三角形的三边关系
三角形中任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，即若三角形的三边长分别为a，b，c，则有b＋c>a>b－c(b>c)．
例1　现有四根木棒，长度分别为4 cm，6 cm，8 cm，10 cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为(　 　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】
【例1】 共有4种方案：
①取4 cm，6 cm，8 cm；由于8－4＜6＜8＋4，能构成三角形；
②取4 cm，8 cm，10 cm；由于10－4＜8＜10＋4，能构成三角形；
③取4 cm，6 cm，10 cm；由于6＝10－4，不能构成三角形，此种情况不成立；
④取6 cm，8 cm，10 cm；由于10－6＜8＜10＋6，能构成三角形．
所以有3种方案符合要求．

变式跟进1　[2014·淮安]若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为______．(只需填一个整数)

类型之二　三角形的内角和与外角和
三角形的内角和等于180°
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和
（这两个定理可以解决许多有关求三角形角度的问题）．
例2　如图1－1，已知∠B＝∠CAB，∠ACD＝∠D，∠BAD＝63°，求∠CAD的度数．

图1-1 图1-2

【例2】解：设∠CAD＝x，
则∠BAC＝63°－x.
又因为∠B＝∠CAB，∠ACD＝∠D，
所以∠B＝∠BAC＝63°－x，∠ACD＝∠D＝2(63°－x)．
在△ABD中，由于三角形的内角和等于180°，
故63°＋(63°－x)＋2(63°－x)＝180°，解得x＝24°，
所以∠CAD＝24°.
【点悟】　本题应用了三角形内角和定理以及外角的性质

变式跟进2　如图1－2，在△ABC中，∠BAC＝4∠ABC＝4∠C，BD⊥AC，垂足为D，求∠ABD的度数．

【变式2】解：设∠C＝x，则在△ABC中有x＋x＋4x＝180°，解得x＝30°，
∴∠BAC＝120°，∠DAB＝60°，
∴∠ABD＝90°－60°＝30°.

类型之三　全等三角形的性质与判定
全等三角形的对应边和对应角相等，所以在平面几何中，说明两线段相等，两个角相等，两条直线互相平行，两条直线互相垂直等问题时，常常可以通过三角形全等来实现，有时在整个解题过程中往往要多次证三角形全等，才能解决待证(或待求)的问题．

例3　如图1－3，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF.请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线，并说明判断的理由．

图1-3 图1-4 图1-5

【例3】 设法证明△BDE≌△CDF.
解：AD是△ABC的中线．
理由如下：在直角△BDE和直角△CDF中，
∵BE＝CF，
∠BDE＝∠CDF，
∠BED＝∠CFD，
∴△BDE≌△CDF.
∴BD＝CD.故AD是△ABC的中线．
【点悟】　本题意在考查寻找隐含条件，推出所需要的条件，证明两个三角形全等，并利用全等三角形解决问题．

变式跟进3　如图1－4，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是____________________________ ___________ (写出一个即可)．

变式跟进4　如图1－5，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2.
求证：AB＝AD.
【变式4】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE，即∠BAC＝∠DAE.

∴△ABC≌△ADE(ASA)．∴AB＝AD.

类型之四　角平分线的性质与垂直平分线的性质
1、角的平分线不仅把角分成相等的两部分，而且它所在的直线是角的对称轴，线上的点到角两边的距离相等；
2、线段的垂直平分线是指经过线段的中点并且与线段垂直的直线，它的主要性质是：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，反之，到线段的两个端点距离相等的点，在它的垂直平分线上．
例4　如图1－6，在直角△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是_______．

图1-6 图1-7
变式跟进5　如图1－7，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E.若∠CAE＝∠B＋30°，求∠AEB的度数．
【变式5】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，∠B＝∠EAB，
∵∠C＝90°，∠CAE＝∠B＋30°，
∴∠CAE＋∠EAB＋∠B＝∠B＋30°＋∠B＋∠B＝90°，
∴∠B＝20°，
∴∠AEB＝180°－∠B－∠EAB＝180°－20°－20°＝140°.

课堂小结：证明过程要由已知条件一步一步有理有据的推理出结论！
课堂作业：作业本复习题