全等三角形的证明.doc

全等三角形证明
1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
A
D
B
C

解：延长AD到E,使AD=DE
∵D是BC中点 ∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2
∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE
∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+2
1＜AD＜3 ∴AD=2

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：
D
A
B
C

延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP为平行四边形
又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP为矩形 ∴AB=CP=1/2AB

3. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE
∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD
∵AE＝AC，AD＝AD ∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C
∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD
∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C

4. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明：
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB ∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA
∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC
∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

5、如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.
A
C
E
D
B

CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。
证明：
过D作AE平行线与AC交于F，连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°
∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°
RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CE AF=DE
∴CE>DE