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全等三角形证明条件归类
初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：
一是公共边是第三个条件
例1：如图，在中，AC=BD，AD=BC，求证：≌
A
D
C
B
证明：△ABD和△BAC中：
∵ BD=AC
BC=AD
AB=BA(公共边)
B
A
C
E
F
D
第2图
∴ ≌（SSS）
二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件
例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC≌ΔDEF
证明：∵AE=BD
∴ AE+EB=BD+EB（即AB=DE）
在△ABC和△DEF中
∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE
∴ΔABC≌ΔDEF（SAS）
例2如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。
∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB（即CF=BE）
∵AB=DC AE=DF CF=BE
∴△ABE≌△CDF（SSS）
∴AF=DE
三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件
例1：如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。
证明：∵DF=CE，
∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，
在△AED和△BFC中，
∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF
∴△AED≌△BFC（SAS）
第5图
A
B
C
D
E
四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件
例1：如图5，△ABC和△CDE都是等边三角形，
求证：△ACD≌△BCE。
证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE（即∠BCE=∠ACD）
在△ACD和△BCE中，
∵ AC=BC ∠BCE=∠ACD CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
五是添加辅助线与对应的线段相等是第三个条件
例1已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE
∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD
∵AE＝AC AD＝AD
∴△AED≌△ACD （SAS）
∴∠E＝∠C
∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD
∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C
六是二次证全等找到对应的线段相等是第三个条件
例1已知：如图，∠A=∠D=90°，AE=DE．求证：△ABC≌△DCB．
证明：∵∠A=∠D AE=DE ∠AEB=∠DEC（对顶角）
∴△AED≌△ACD （ASA） ∴EC=EB
∴EC+AE=EB+DE（即AC=DB）
在Rt△ABC和Rt△DCB中
∵∠A=∠D=90° AC=DB BC=BC（公共边）
∴△ABC≌△DCB (HL)
七是中点等分线段对应相等是第三个条件
例1，如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，
求证：△AED≌△EBC．
证明：∵DC∥AB ∴∠CDE＝∠AED
∵DE＝DE，DC＝AE ∴△AED≌△EDC
∵E为AB中点 ∴AE＝BE ∴BE＝DC
∵DC∥AB ∴∠DCE＝∠BEC
∵CE＝CE ∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC
八是其他情形
对应角相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：
一是公共角相等是第三个条件
例1． 如图，CA⊥BF于A，BE⊥CF于E，若AC=BE
求证：△AFC≌△EFB
证明：∵CA⊥BF BE⊥CF ∴∠CAF=∠BEF=90°
在 △AFC和△EFB中
∵∠CAF=∠BEF ∠F=∠ F（公共角） AC=BE ∴△AFC≌△EFB（AAS）
二是对顶角相等是第三个条件
例1如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，∠CFM=∠E BE=CF。
求证：△BEM≌△CFM
证明：∵∠CFM=∠E ∠CMF=∠BME（对顶角） BE=CF
∴△BEM≌△CFM（AAS）
三是平行线截得的同位角或内错角相等是第三个条件
B
A
C
D
F
2
1
E
例1. 已知：∠1=∠2，EF//AB，∠B=∠ACD CD=DE
求证：△EFD≌△DAC
证明∵EF//AB
∴∠1=∠EFD ∠B=∠FED
∵∠1=∠2 ∠B=∠ACD
∴∠EFD=∠2 ∠FED=∠ACD
在△EFD和△DAC中
∵∠EFD=∠2 ∠FED=∠ACD CD=DE
∴△EFD≌△DAC
四是同角（或等角）的余角（或补角）相等是第三个条件
例1．已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB ∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA
∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC
又∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
例2．在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①≌；
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠CAD=∠BCE． ∵AC=BC， ∴△ADC≌△CEB．
（2）略
五是垂直相交的角是90°是第三个条件
例1：如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
求证：MB=MD，ME=MF

（1）∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴DE=BF．
在Rt△DEM和Rt△BFM中
∵∠DME=∠BMF ∠DEC=∠BFA DE=BF
∴RtCBFM（AAS） ∴MB=MD，ME=MF （2）略
六是角平分线分得的角对应相等是第三个条件
例1如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠1=∠2，
求证：△ABD≌△ACD
证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD，
∵∠1=∠2 AD=AD ∠BAD=∠CAD
∴△ABD≌△ACD（ASA）
A
E
B
M
C
F

七是相等对应角+公共角的和对应相等是第三个条件
例1．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：△ABF≌△AEC；
证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE=∠CAF=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF
在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
八是相等对应角+相等对应角和对应相等是第三个条件
例1如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△DCB
证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4（即∠ABC=∠DCB）
在△AOB和△DOC中
∵∠ABC=∠DCB BC=BC ∠4=∠3
∴△ABC≌△DCB
九是等边三角形的三个角都等于60度（等腰三角形两底角相等）是第三个条件
例1：如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，
求证：△CFD≌△BED．
证明：作CG⊥AB,交AD于H, 则∠ACH=45º,∠BCH=45º
∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE
又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º ∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE
又∵∠DCH=∠B=45º CD=DB
∴△CFD≌△BED
十是添加辅助线与对应的角相等是第三个条件

十一是二次证全等找到对应的角相等是第三个条件
例1．AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF
证明：在△ABD与△ACD中
∵AB=AC BD=DC AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
∵BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF
∴△FBD≌△FCD
十二计算角的度数找到对应的角相等是第三个条件
例1．如图，已知在△ABC内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
解：延长AB至D，使BD＝BP，连DP
在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°
从而∠BDP＝40°＝∠ACP
△ADP≌△ACP（ASA） 故AD＝AC
又∠QBC＝40°＝∠QCB 故 BQ＝QC
BD＝BP 从而BQ+AQ=AB+BP
例2 D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
求证△CDE≌△ADF
证明：连接D，D为等腰斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DA
CD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°
由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°由于 CD⊥AB，有∠CDA＝90°
从而∠CDE＝∠FDA DE≌△ADF（ASA）
十三其他情形

无论是找对应边相等还是找对应角相等，难点中的难点是找出隐含的条件，像前面的公共边相等，公共角相等，对顶角相等这些类型，我们可以把已知条件和问题结合起来，先找到需要证明全等的三角形，在找证明全等的条件。
突破三角形全等证明这一难关，除了我们要加强联系，更重要的是我们在练习的时候要仔细看图，提高识别图形的能力。