三角形中的解题误区.doc

湖北黄石十中：王宇刚
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三 角 形 中 的 解 题 误 区
黄石十中：王宇刚

同学们一定会有“会做的题做不对，能做的题做不全”的经历吧，这主要是因为没有深入地理解分类讨论的思想。不会用分类讨论的方法对一些问题进行分析从而使一些问题不能完整地回答出来。下面我们先看一看几位同学在作业中出现的一些错误，思考产生错误的原因。探讨不犯或少犯错误的方法。

例1：一个三角形的三个外角中，最多有几个角是锐角？
　【解题误区】对三角形的内角与外角的概念未能真正理解并加以区分，从而错误地认为三角形的外角也与其内角一样，最多可有三个锐角.
　【正解】：∵三角形的每一个外角都与相邻的内角互补，
　∴当相邻的内角是钝角时，这个外角才是锐角.
　又∵三角形中最多只有一个内角是钝角，
　∴三角形的三个外角中最多只有一个锐角.

例2等腰三角形两边为4和5 ，则它的周长= 。.
【解题误区】本题是因为条件不明而应该考虑用分类讨论的思想进行解题的，而大部分同学有先入为主的想法，一看到题就想到了4是表示腰长的，而5是表示底边长的，所以只求出了一个解4+4+5=13。从而出现了漏解的情况。产生错误的主要原因是没有弄清题意。在不知道“4”或“5”那一个表示的长度是腰的长度时应该考虑两种情况。

【正解】：分为两种情况：（1）当4为等腰三角形的一个腰长时，三角形的周长为4+4+5=13
（2）当5为等腰三角形的一个腰长时，三角形的周长为5+5+4=14。
填空的答案为：13或14
注意：值得注意的事对于有些题目，虽然我们考虑问题时要从两个方面着手，但是由于三边长还要满足，两边之和大于第三边，所以最终的结果还是一个解。例如：已经等腰三角形的两边长分别是4、9则三角形的周长为： 。因为当4为腰长时，4+4＜9，不能构成三角形，所以腰长只能是9，周长为4+9+9=22

例3、直角三角形三边分别是3、4、X。则X的值为： 。
【解题误区】有些同学一看到直角三角形有两边分别是3、4，马上就想到X的值为5。所以产生了一个错误的答案。产生的原因是因为同学们有一种先入为主的想法。3、4、5组成一个直角三角形平时见得很多，但这仅是本题其中的一个答案。造成本题X有多个值的原因是：在题目的条件中并没有规定那一边是斜边。这就造成了两种可能性。一、可能是所求的X，是斜边的长；二、可能是4是斜边的长。
【正解】：分两种情况：（1）当X为斜边时，X的值为5。
（2）当4为斜边时，X的值为
注意：有些同学可能想，按照老师的说法，也应该有第三种可能性，即：3是斜边的长。但是这种可能性显然是不存在的，因为3比4小，不可能存在斜边小于直角边的长的情况。

例4：等腰三角形一腰上的高与腰的比为：2，则等腰三角形的顶角为 。

【解题误区】题目并没有画出图形来，同学们在解答案时一定想到的就是第一种情况，仅仅只考虑到锐角的等腰三角形而没有想到钝角的等腰三角形。从而导致了答案漏解。

【正解】：本题分为两种情况：（1）当等腰三角形为图一中的形状时，因为BD：AB=：2，所以顶角为45°。（2）当等腰三角形为图二中的形状时，因为BD：AB=：2，所以顶角的度数为135°。
注意： 由于三角形的高有可能在图形内也有可能在图形外面。对于等腰三角形来说也是这样，从而导致了问题的条件不明而产生的多种情况，这样就需要分别进行讨论。

图一
图二

例5、叔叔家有一块等腰三角形菜地，腰长为40m ，一条笔直的水渠从菜地穿过这条水渠恰好垂直平分三角形的一腰，水渠过菜地部分的长为15m（水渠的宽不计）请你计算这块等腰三角形菜地的面积。
【解题误区】本题是一个实际应用问题，由于条件不明，不知道等腰三角形到底是锐角等腰三角形还是钝角等腰三角形因此也要进行分类讨论，不能直接按锐角等腰三角形进行计算。
【正解】：当等腰三角形为锐角三角形时，过B 作BD⊥AC (如图一)
Rt△AMN 中AN=20 MN=15
图一
图二
∴AM=25 而MN∥BD = = BD=24
S△ABC=40´24´=480m2

当△ABC 为钝角三角形时，（如图二）
Rt△MNC 中 MC==25 而△ADC∽△MNC = S7△ADC=384
S△ABC=768m2

注意： 在实际应用问题中的分类讨论也是在条件不明的条件下展开的，他的现实意义是在条件不明时，算出会出现的几种不同的可能性，做到心中有数。这也是学了数学与没有学数学的人在实际问题的处理过程中的差别所在。

例6、△ABC 的边BC上的高AD= AB=2 则AC=2 ①. 求BC 之长。②若有一正方形的一边在AB上，另外两个顶点在AC BC 上，求这个正方形的面积。
【解题误区】本题并没有画出图形，有些同学在思考本题的过程中，易想当然地将图形画成一种特殊情况。这就难免会出现漏解的情况了。

【正解】： 如图一：当D 在BC上时 BC=4。此时△ABC为Rt△ ,S正方形AEGF=12-6 。
当D 在BC 的延长线时如图二。BC=2 。S 正方形MNPQ=

图一
图二

注意： 本题的实质性问题：“就是已知三角形的两边长及第三边上的高，不能确定唯一的三角形的问题。”在两边的长度和第三边上的高长度一定时（如本题）会出现两种不同的三角形，因为三角形不同，从而导致了它的内截正方形的不同。

综上所述：出现在三角形类题目中的解题误区一般集中在多值问题，在于分类思想的运用。而分类思想是初中数学学习的一个非常重要的思想。怎样进行正确分类，在分类中不重复、不遗漏需要我们在实践中不断摸索、不断总结。通过以上解题误区的分析，相信同学们一定对这类问题有了一个较清晰的认识的。

2007-10-21
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