强化平均数的“虚拟性”特征理解其作为“代表”的合理性.pdf

科学有效的决策日益依赖于客观数据和数据分析，数据驱动决策的理念已经成为现代决策理论的基本原则1。数据素养的“DIKW”金字塔模型即“数据（Data）信息（Information）知识（Knowledge）智慧（Wisdom）”2是统计教学的理论基础，其中，数据与信息是重中之重。获得数据、知其蕴含的信息是小学阶段统计教学的重要内容。只有对数据进行加工才能获得信息，平均数就是对一组原始数据加工后所得到的、能代表这组数据平均水平的信息，是小学阶段所学习的唯一的表示数据“集中趋势”的统计量。“理解平均数的统计意义”是数据意识的重要内容，其统计意义主要体现在“理解平均数代表一组数据平均水平的合理性”“如何用样本平均数推断总体水平”等方面。小学阶段主要是前者，在课堂教学中如何落实呢？宋煜阳老师执教的平均数（第一课时）有许多独特思考和做法，重点体现在以下三个方面。一、遵从学生对数据的朴素加工方式，体会存在不同的代表量加工数据的方式方法有很多种。例如，最原始、最朴素的加工包括：将原始数据进行分类并累计每一类的个数，对数据进行排序，描述不同数据之间最基本的数量关系等；较深度的加工包括：寻找原始数据的分布样态、集中趋势（求算术平均数、中位数、众数、中程数等）、离散趋势（极差、方差、标准差等）等；还有其他更为复杂的加工，例如，数据建模，即在不同组数据之间建立结构方程，寻找各变量（数据）之间的深层次关系或蕴含的规律等。“平均水平”是一组数据蕴含的重要信息，它是对不同组数据做比较、做判断、下结论的重要依据。获得一组数据后，谁可以代表或者描述这组数据的平均水平呢？无论从加工数据的难易程度、还是从学生已有的生活经验来看，平均数作为代表都不是“朴素”的、学生最易接受的。强化平均数的“虚拟性”特征，理解其作为“代表”的合理性刘加霞只有对数据进行加工才能获得信息，平均数就是对一组原始数据加工后所得到的、能代表这组数据平均水平的信息，是小学阶段所学习的唯一的表示数据“集中趋势”的统计量。宋煜阳老师遵从了学生对数据的朴素加工方式，带领学生探究了不同类型数据的平均数，紧抓平均数的“虚拟性”特征，呈现了独特的思考和做法。小学数学；平均数；虚拟性；合理性摘 要：关键词：26智慧教学 2023 年 8 月智策点课问计如前所述，对数据进行分类、排序是最为基础的加工，无论从小到大还是从大到小的排序，居于中间位置的数据能够“看得见、摸得着”，作“平均水平”的代表似乎是“天经地义”的。而平均数需要对原始数据进行较深度的加工，例如，经过两次运算：先求和、再平均分。这样算出的平均数有可能与原始数据里的“中间数”相同，但很可能是不同的，甚至不是原始数据中的某个数，所以也称平均数具有“虚拟性”，这就意味着学生对平均数可以作代表的认识不是一步到位的。从“实实在在存在的中间数”到“经过运算才能得到的、虚拟的平均数”做一组数据的代表，这个认识过程在教学中必须清楚地呈现出来，学生经历这个对比过程后，对谁能代表一组数据的整体水平才能有更深刻的理解，也才能更认可平均数作为代表的合理性。在对比分析、辩论研讨的过程中，学生初步感悟统计结论没有“对错”之分，只有“好不好”“合理不合理”之分。宋老师设计的平均数（第一课时），就拉长了“谁能代表整体水平”这一认知过程。首先是从日常事件“选谁代表全班的身高情况”入手，学生做选择的依据可能五花八门，但都有其合理性。然后进入“正题”：已知某小组五个男生的身高数据，用哪个数来代表这组学生的身高水平呢？无论从学生的日常生活经验（排座位），还是从加工数据（排序）的难易度来说，学生都认可“居中的数据”（即“中位数”）作为代表“更合理”。或许有学生已经知道“平均数”这个词，即使没有学生知道，教师也可以告知学生，除了“中间数”外还可以用平均数来代表这组男生的身高情况。在本情境中，中位数“恰好”就是平均数，学生通过对比两个“加工过程”发现，虽然这两个数的数值相同，但它们的含义不同，更强调了平均数是经过“调匀”得到的，其“名”反映其“实”。对比中位数、众数与平均数的异同，拉长认识平均数的“过程”非常有必要，因为，我们希望不是直接就给学生“干净”的平均数的情境，而是应该有一些干扰因素。实际上，我们接触的数据往往并不是那么“友好”的，在统计中，通常都存在“干扰”的情况，并不像“2+3=5”这样简单的数学问题3。中位数、众数也能作为整体水平的代表，小学生可以知道这两个术语，但不用“纠缠”它俩与平均数谁更好的问题，因为这将涉及数据分布情况，需要更多的统计学知识。二、探究不同类型数据的平均数，更易于理解其含义数据可以分为确定数据和随机数据，只有随机数据才是统计学的研究对象。陈希孺将随机数据再细分为 3 个类别：抽样数据、重复测量同一对象所得数据、试验设计所得数据4。小学阶段所涉及的数据主要是后两者，不需要抽样只需要测量或调查得到总体数据（样本即是总体）。测量所获得的数据是同一事件在不同时间节点所得到的数据，如每天早上从家到学校所花的时间等。虽然小学阶段不涉及通过抽样获得数据，但学习平均数时，有用样本数据的平均值代表总体水平的问题，如“北京市 6 岁男童的平均身高”就是通过抽样得到的，这时的平均数具有统计意义。用样本的平均数代表总体水平时，学生理解平均数有一定的困难，学习“平均数”的第一课时显然不适合用该类数据。平均数作为一组数据的代表，主要有描述、比较、推断与预测的功能。前两者一般不具备统计意义。例如，一组花瓶有 3 个，分别插了 4、6、7 枝花，平均每个花瓶插几枝？这时的数据不是随机数据，教学平均数时不适合采用该情境。当数据是同一个量的几次测量值时，这组数据的平均数既可以描述这组测量数据的整体水平，也可以用来预测、推断这个量的期望值，或者用来估计真实值。根据大数定律，试验或测量的次数接近无穷大时，测量数值的平均数几乎肯定地收敛于期望值，这时的平均数具有统计意义。因此，宋老师设计的“谁能代表某组同学的身高”“谁套圈更准”“哪个数能代表聪聪的 60米跑步成绩”“某景区国庆长假平均每天游客量”这四个主体学习任务涉及的数据都是随机数据，没有求解确定数据的平均数这样的学习任务。前三个学习任务涉及的数据主要是两类：一是调研某个群体中各个对象所获得的分类数据，二是同27The Horizon of Education一事件在不同时间点测量所获得的数据，这样设计使得教学的逻辑顺序符合学生的认知经验逻辑。前两个任务中的数据便于学生直观感知，有助于“看见”平均数的产生与求解过程，“60 米跑步成绩”这个情境是关于时间的数据，不便于学生感知，所以作为第三个学习任务。而“风景区游客量”情境中只是给出“平均每天游客量”这一平均数，让学生根据已学习的平均数概念解释其含义，并没有提及这个平均数是如何得到的，淡化计算平均数而是强调“运用平均数概念解释日常生活中的事件”。三、紧抓平均数的“虚拟性”特征，以此为主线设计学习任务平均数具有反应灵敏、简明易解、适合进一步演算和较小受抽样变化的影响等优点，它不是“客观”存在的，具有“虚拟性”这一典型特征。此外，算术平均数还有如下特性（性质）：1.一组数据的平均数易受这组数据中每一个数据的影响，“稍有风吹草动就能带来平均数的变化”，即灵敏性。2.一组数据的平均数介于这组数据的最小值与最大值之间，即有界性。3.给一组数据中的每一个数加上一个常数C，则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数加上常数 C。4.一组数据中的每一个数乘上一个常数 C，则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数乘常数 C。5.一组数据中每一个数与平均数之差（称为离均差）的总和等于 0，即：1ni=（xi-x）=0，其中xi是原始数据，x 是这组数据的平均数。某个概念的典型特征不同于其他特性，典型特征往往凸显概念的本质。因此，宋老师设计的学习任务以平均数的“虚拟性”为主线，没有强调其灵敏性、有界性或其他特性。平均数的有界性非常直观，在课堂教学中无须过多强调。如果把感受平均数的灵敏性作为第一课时的教学内容，则要么“人为地”改变数据，要么例举“去掉最高分、最低分”这一情境。前者违背了数据必须真实的原则，后者要想解释清楚不仅需要平均数的知识，还需要其他专业以及社会性知识，也不适合在第一课时学习。后三条特性涉及的现实情境则不适合小学阶段学习。强调平均数的“虚拟性”有助于学生理解平均数的含义及其作为代表的合理性。宋老师通过与“中间数”以及一组数据中的每一个数据的对比，让学生感悟到平均数不是客观存在的，它是把数据“调匀”以后的结果，所以可以代表这组数据的整体水平。本节课花费了较多时间带领学生感悟平均数的“虚拟性”，其目的是进一步帮助他们理解平均数作为代表的合理性。学习并理解“谁可以作为代表”，比会计算平均数更重要。在各种各类、成百上千的统计方法中，取算术平均是最为人所知的、使用最广的方法。统计学家常说的一句口头禅是“某事从统计观点看如何如何”，这个“统计观点”，取狭义一点的解释，就是平均观点。甚至可以说，一部数理统计学的历史，就是从纵横两个方向对算术平均进行不断深入的研究的历史5。平均数在统计学上的重要性可见一斑，让学生理解它作为一组数据平均水平的代表尤为重要，宋老师所设计的系列学习任务即是强调了这一点。参考文献：1 朱书堂.从卜筮到大数据：预测与决策的智慧 M.北京：清华大学出版社，2017：266.2 贾璞，宋乃庆.大数据时代中学生数据素养：内涵、价值与构成维度 J.电化教育研究，2020（12）：28-34.3 章勤琼，达尼本兹威.统计素养：小学阶段“统计教学”关注的重点以色列海法大学教授达尼 本兹威访谈录J.小学教学（数学版），2016（12）：4-7.4 陈希孺.机会的数学 M.北京：清华大学出版社，2000：58-59.5 陈希孺.数理统计学简史 M.长沙：湖南教育出版社，2002：73.（刘加霞，教授，北京教育学院数学与科学教育学院，邮编：100120）