1、科学有效的决策日益依赖于客观数据和数据分析,数据驱动决策的理念已经成为现代决策理论的基本原则1。数据素养的“DIKW”金字塔模型即“数据(Data)信息(Information)知识(Knowledge)智慧(Wisdom)”2是统计教学的理论基础,其中,数据与信息是重中之重。获得数据、知其蕴含的信息是小学阶段统计教学的重要内容。只有对数据进行加工才能获得信息,平均数就是对一组原始数据加工后所得到的、能代表这组数据平均水平的信息,是小学阶段所学习的唯一的表示数据“集中趋势”的统计量。“理解平均数的统计意义”是数据意识的重要内容,其统计意义主要体现在“理解平均数代表一组数据平均水平的合理性”“如
2、何用样本平均数推断总体水平”等方面。小学阶段主要是前者,在课堂教学中如何落实呢?宋煜阳老师执教的平均数(第一课时)有许多独特思考和做法,重点体现在以下三个方面。一、遵从学生对数据的朴素加工方式,体会存在不同的代表量加工数据的方式方法有很多种。例如,最原始、最朴素的加工包括:将原始数据进行分类并累计每一类的个数,对数据进行排序,描述不同数据之间最基本的数量关系等;较深度的加工包括:寻找原始数据的分布样态、集中趋势(求算术平均数、中位数、众数、中程数等)、离散趋势(极差、方差、标准差等)等;还有其他更为复杂的加工,例如,数据建模,即在不同组数据之间建立结构方程,寻找各变量(数据)之间的深层次关系或
3、蕴含的规律等。“平均水平”是一组数据蕴含的重要信息,它是对不同组数据做比较、做判断、下结论的重要依据。获得一组数据后,谁可以代表或者描述这组数据的平均水平呢?无论从加工数据的难易程度、还是从学生已有的生活经验来看,平均数作为代表都不是“朴素”的、学生最易接受的。强化平均数的“虚拟性”特征,理解其作为“代表”的合理性刘加霞只有对数据进行加工才能获得信息,平均数就是对一组原始数据加工后所得到的、能代表这组数据平均水平的信息,是小学阶段所学习的唯一的表示数据“集中趋势”的统计量。宋煜阳老师遵从了学生对数据的朴素加工方式,带领学生探究了不同类型数据的平均数,紧抓平均数的“虚拟性”特征,呈现了独特的思考
4、和做法。小学数学;平均数;虚拟性;合理性摘 要:关键词:26智慧教学 2023 年 8 月智策点课问计如前所述,对数据进行分类、排序是最为基础的加工,无论从小到大还是从大到小的排序,居于中间位置的数据能够“看得见、摸得着”,作“平均水平”的代表似乎是“天经地义”的。而平均数需要对原始数据进行较深度的加工,例如,经过两次运算:先求和、再平均分。这样算出的平均数有可能与原始数据里的“中间数”相同,但很可能是不同的,甚至不是原始数据中的某个数,所以也称平均数具有“虚拟性”,这就意味着学生对平均数可以作代表的认识不是一步到位的。从“实实在在存在的中间数”到“经过运算才能得到的、虚拟的平均数”做一组数据
5、的代表,这个认识过程在教学中必须清楚地呈现出来,学生经历这个对比过程后,对谁能代表一组数据的整体水平才能有更深刻的理解,也才能更认可平均数作为代表的合理性。在对比分析、辩论研讨的过程中,学生初步感悟统计结论没有“对错”之分,只有“好不好”“合理不合理”之分。宋老师设计的平均数(第一课时),就拉长了“谁能代表整体水平”这一认知过程。首先是从日常事件“选谁代表全班的身高情况”入手,学生做选择的依据可能五花八门,但都有其合理性。然后进入“正题”:已知某小组五个男生的身高数据,用哪个数来代表这组学生的身高水平呢?无论从学生的日常生活经验(排座位),还是从加工数据(排序)的难易度来说,学生都认可“居中的
6、数据”(即“中位数”)作为代表“更合理”。或许有学生已经知道“平均数”这个词,即使没有学生知道,教师也可以告知学生,除了“中间数”外还可以用平均数来代表这组男生的身高情况。在本情境中,中位数“恰好”就是平均数,学生通过对比两个“加工过程”发现,虽然这两个数的数值相同,但它们的含义不同,更强调了平均数是经过“调匀”得到的,其“名”反映其“实”。对比中位数、众数与平均数的异同,拉长认识平均数的“过程”非常有必要,因为,我们希望不是直接就给学生“干净”的平均数的情境,而是应该有一些干扰因素。实际上,我们接触的数据往往并不是那么“友好”的,在统计中,通常都存在“干扰”的情况,并不像“2+3=5”这样简
7、单的数学问题3。中位数、众数也能作为整体水平的代表,小学生可以知道这两个术语,但不用“纠缠”它俩与平均数谁更好的问题,因为这将涉及数据分布情况,需要更多的统计学知识。二、探究不同类型数据的平均数,更易于理解其含义数据可以分为确定数据和随机数据,只有随机数据才是统计学的研究对象。陈希孺将随机数据再细分为 3 个类别:抽样数据、重复测量同一对象所得数据、试验设计所得数据4。小学阶段所涉及的数据主要是后两者,不需要抽样只需要测量或调查得到总体数据(样本即是总体)。测量所获得的数据是同一事件在不同时间节点所得到的数据,如每天早上从家到学校所花的时间等。虽然小学阶段不涉及通过抽样获得数据,但学习平均数时
8、,有用样本数据的平均值代表总体水平的问题,如“北京市 6 岁男童的平均身高”就是通过抽样得到的,这时的平均数具有统计意义。用样本的平均数代表总体水平时,学生理解平均数有一定的困难,学习“平均数”的第一课时显然不适合用该类数据。平均数作为一组数据的代表,主要有描述、比较、推断与预测的功能。前两者一般不具备统计意义。例如,一组花瓶有 3 个,分别插了 4、6、7 枝花,平均每个花瓶插几枝?这时的数据不是随机数据,教学平均数时不适合采用该情境。当数据是同一个量的几次测量值时,这组数据的平均数既可以描述这组测量数据的整体水平,也可以用来预测、推断这个量的期望值,或者用来估计真实值。根据大数定律,试验或
9、测量的次数接近无穷大时,测量数值的平均数几乎肯定地收敛于期望值,这时的平均数具有统计意义。因此,宋老师设计的“谁能代表某组同学的身高”“谁套圈更准”“哪个数能代表聪聪的 60米跑步成绩”“某景区国庆长假平均每天游客量”这四个主体学习任务涉及的数据都是随机数据,没有求解确定数据的平均数这样的学习任务。前三个学习任务涉及的数据主要是两类:一是调研某个群体中各个对象所获得的分类数据,二是同27The Horizon of Education一事件在不同时间点测量所获得的数据,这样设计使得教学的逻辑顺序符合学生的认知经验逻辑。前两个任务中的数据便于学生直观感知,有助于“看见”平均数的产生与求解过程,“
10、60 米跑步成绩”这个情境是关于时间的数据,不便于学生感知,所以作为第三个学习任务。而“风景区游客量”情境中只是给出“平均每天游客量”这一平均数,让学生根据已学习的平均数概念解释其含义,并没有提及这个平均数是如何得到的,淡化计算平均数而是强调“运用平均数概念解释日常生活中的事件”。三、紧抓平均数的“虚拟性”特征,以此为主线设计学习任务平均数具有反应灵敏、简明易解、适合进一步演算和较小受抽样变化的影响等优点,它不是“客观”存在的,具有“虚拟性”这一典型特征。此外,算术平均数还有如下特性(性质):1.一组数据的平均数易受这组数据中每一个数据的影响,“稍有风吹草动就能带来平均数的变化”,即灵敏性。2
11、.一组数据的平均数介于这组数据的最小值与最大值之间,即有界性。3.给一组数据中的每一个数加上一个常数C,则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数加上常数 C。4.一组数据中的每一个数乘上一个常数 C,则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数乘常数 C。5.一组数据中每一个数与平均数之差(称为离均差)的总和等于 0,即:1ni=(xi-x)=0,其中xi是原始数据,x 是这组数据的平均数。某个概念的典型特征不同于其他特性,典型特征往往凸显概念的本质。因此,宋老师设计的学习任务以平均数的“虚拟性”为主线,没有强调其灵敏性、有界性或其他特性。平均数的有界性非常直观,在课堂教学中无须过多强调。如果
12、把感受平均数的灵敏性作为第一课时的教学内容,则要么“人为地”改变数据,要么例举“去掉最高分、最低分”这一情境。前者违背了数据必须真实的原则,后者要想解释清楚不仅需要平均数的知识,还需要其他专业以及社会性知识,也不适合在第一课时学习。后三条特性涉及的现实情境则不适合小学阶段学习。强调平均数的“虚拟性”有助于学生理解平均数的含义及其作为代表的合理性。宋老师通过与“中间数”以及一组数据中的每一个数据的对比,让学生感悟到平均数不是客观存在的,它是把数据“调匀”以后的结果,所以可以代表这组数据的整体水平。本节课花费了较多时间带领学生感悟平均数的“虚拟性”,其目的是进一步帮助他们理解平均数作为代表的合理性
13、。学习并理解“谁可以作为代表”,比会计算平均数更重要。在各种各类、成百上千的统计方法中,取算术平均是最为人所知的、使用最广的方法。统计学家常说的一句口头禅是“某事从统计观点看如何如何”,这个“统计观点”,取狭义一点的解释,就是平均观点。甚至可以说,一部数理统计学的历史,就是从纵横两个方向对算术平均进行不断深入的研究的历史5。平均数在统计学上的重要性可见一斑,让学生理解它作为一组数据平均水平的代表尤为重要,宋老师所设计的系列学习任务即是强调了这一点。参考文献:1 朱书堂.从卜筮到大数据:预测与决策的智慧 M.北京:清华大学出版社,2017:266.2 贾璞,宋乃庆.大数据时代中学生数据素养:内涵、价值与构成维度 J.电化教育研究,2020(12):28-34.3 章勤琼,达尼本兹威.统计素养:小学阶段“统计教学”关注的重点以色列海法大学教授达尼 本兹威访谈录J.小学教学(数学版),2016(12):4-7.4 陈希孺.机会的数学 M.北京:清华大学出版社,2000:58-59.5 陈希孺.数理统计学简史 M.长沙:湖南教育出版社,2002:73.(刘加霞,教授,北京教育学院数学与科学教育学院,邮编:100120)
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