零点分布更均匀的广义极谐复指数变换.pdf

2023 08 10计算机应用,Journal of Computer Applications2023,43(8):2499-2504ISSN 10019081CODEN JYIIDUhttp：/零点分布更均匀的广义极谐复指数变换曾泽芝，杨建伟*（南京信息工程大学 数学与统计学院，南京 210044）（通信作者电子邮箱）摘要：针对极谐复指数变换（PCET）因自身径向函数实部和虚部的零点分布不均匀而存在的信息抑制问题，提出了一种零点分布更均匀的广义PCET。首先，改造了PCET，将PCET径向函数的指数推广为更一般的构造函数，而近来出现的指数傅里叶矩（EFM）、分数阶极谐变换、广义极谐变换、修正的广义极谐变换等都是所提广义PCET的特例；其次，选取了构造函数，使得所构造的广义PCET的径向函数实部和虚部的零点分布更均匀，并给出了这一特性的证明。在所取的汉字图像库、Coil-20库和COREL库上进行了图像重构实验，同时测试了广义PCET的旋转不变性及抗噪性能。当噪声强度为0时，PCET和广义PCET的识别率均为100%，这验证了PCET和广义PCET的旋转不变性。相较于PCET，所提广义PCET具有更低的重构误差及更高的识别率。理论分析和实验结果表明，零点分布比PCET更均匀的广义PCET同样具有旋转不变性和正交性，且其重构性能和抗噪性能均优于PCET，一定程度上解决了PCET的信息抑制问题，并在原点处数值稳定。关键词：极谐复指数变换；径向函数；零点分布；图像重构；信息抑制中图分类号：TP391.41；O235 文献标志码：AGeneralized polar complex exponential transform with more uniform zeros distributionZENG Zezhi，YANG Jianwei*（School of Mathematics and Statistics，Nanjing University of Information Science and Technology，Nanjing Jiangsu 210044，China）Abstract:In order to address the information suppression problem of Polar Complex Exponential Transform（PCET），which is caused by nonuniform zeros distribution in the real part and imaginary part of PCET s radial function，a generalized PCET with more uniform zeros distribution was proposed.First，PCET was modified，and the exponential part of PCET s radial function was generalized to a more general constructor.And recently proposed Exponent-Fourier Moment（EFM），fractional-order polar harmonic transform，generic polar complex exponential transform and the modified generic polar complex exponential transform are all the special cases of the proposed generalized PCET.Second，a constructor was chosen to make the zeros distribution in the real part and imaginary part of radial function of generalized PCET more uniform.And the proof of this property was given.Image reconstruction experiments were conducted on the selected Chinese character image，Coil-20 and COREL databases，and the rotation invariance and anti-noise performance of generalized PCET were tested.When the noise intensity is 0，both the recognition rates of PCET and generalized PCET are 100%，verifying the rotation invariance of PCET and generalized PCET.Compared with PCET，the proposed generalized PCET has lower reconstruction error and higher recognition rate.Theoretical analysis and experimental results show that the proposed generalized PCET with zeros distribution more uniform than PCET also has rotation invariance and orthogonality，and its reconstruction performance and anti-noise performance are better than those of PCET，which solves the information suppression problem of PCET to a certain extent，and is numerically stable at the origin.Key words:Polar Complex Exponential Transform(PCET);radial function;zeros distribution;image reconstruction;information suppression0 引言 图像矩1-2可描述图像的全局特征，是重要的图像分析工具。正交矩具有较少的信息冗余、较好的抗噪性能和方便重构等优点，已成为图像分析领域的研究热点。离散正交矩3尽管可精确重构出原图像，却不具备显性的旋转不变性4，难以提取图像旋转不变的特征，因此连续正交矩5-6受到了更多的 关 注。极 谐 复 指 数 变 换（Polar Complex Exponential Transform，PCET）是Yap等7提出的一种计算简便的连续正交矩，具有径向函数的实部和虚部的零点个数较多项式正交矩的径向函数更多、径向函数在原点处数值稳定等优点。近年来，PCET已被广泛应用于数字水印8-10、图像重构11-12、目标识别13等领域。然而PCET存在径向函数实部和虚部的零点分布不均匀的问题。文献 14-16 中指出，若图像矩径向函数实部和虚部文章编号：1001-9081（2023）08-2499-06DOI：10.11772/j.issn.1001-9081.2022071020收稿日期：20220713；修回日期：20221106；录用日期：20221111。基金项目：国家自然科学基金资助项目（61572015）。作者简介：曾泽芝（1998），男，江苏南京人，硕士研究生，主要研究方向：模式识别；杨建伟（1970），男，河南荥阳人，教授，博士，主要研究方向：模式识别。第 43 卷计算机应用的零点分布不均匀，将导致信息抑制问题。图1（a）和图1（b）分别画出了 PCET 的一个径向函数（n=7）的实部和虚部图像，从图1中可以看出，它们在r=1附近的零点分布较密集，在r=0附近的零点分布较稀疏，而n取不同值时皆有类似情况。这导致PCET对图像中心区域的信息产生了抑制，而对外围区域的信息产生了增强，导致信息冗余，表明了PCET对图像不同区域的信息处理是不均衡的。尽管Hu等17提出的指数傅里叶矩（Exponent-Fourier Moment，EFM）径向函数实部和虚部的零点分布均匀，但EFM存在原点处数值计算不稳定的问题。改造PCET，使它的径向函数实部和虚部的零点分布更均匀，并保持在原点处数值稳定这一优点，是一个值得探讨的问题。本文致力于零点分布更均匀的PCET改造。主要工作包括两个方面：一方面，推广PCET，提出了广义PCET，将PCET径向函数指数上的函数r2推广为一般的函数h（r），EFM17、分数阶极谐变换10，12、广义极谐变换16、修正的广义极谐变换13等都是其特例；另一方面，为使广义PCET径向函数实部和虚部的零点分布更均匀，给出函数h(r)的具体形式，并说明了所构造广义PCET的径向函数实部和虚部的零点分布比PCET的更均匀，且在原点处数值稳定。实验结果表明，本文提出的广义PCET不仅具有旋转不变性与正交性，而且在重构性能与抗噪性能上均优于PCET，在一定程度上解决了PCET因径向函数实部和虚部零点分布不均匀带来的信息抑制问题。1 广义PCET 1.1PCET对于图像f(r，)和n，m Z，PCET7被定义为：Hnm=0201 f(r，)V*nm(r，)rdrd（1）Vnm(r，)定义为：Vnm(r，)=ei2nr2eim（2）称Rn(r)=ei2nr2为PCET的径向函数。可证明Vnm(r，)在0 r 1，0 2上满足如下的正交性7：0201Vnm(r，)V*nm(r，)rdrd=nnmm（3）于是Vnm(r，)为正交函数系，图像f(r，)可表示为：f(r，)=n=-m=-HnmVnm(r，)（4）实际上，原始图像可通过Vnm(r，)近似重构，记近似重构图像为f(r，)，给定非负整数K，则f(r，)=n=-KK m=-KKHnmVnm(r，)（5）其 中：(n，m)(n，m)|(n，m)Z2，|n|+|m|K，K为 最 大阶数。1.2PCET的改造本文将径向函数Rn(r)改造成GRn(r)，提出如下的广义PCET。定义1 设h(r)为定义在0，1上，值域为0，1的连续可导单调函数，且h(0)=0，h(1)=1。对于n Z，令GRn(r)=h(r)2rei2nh(r)（6）其中：h(r)表示函数h(r)的导数。再令广义复指数基函数GVnm(r，)为：GVnm(r，)=GRn(r)eim（7）则称GHnm为图像的广义PCET：GHnm=0201f(r，)GV*nm(r，)rdrd（8）容易看出，在上述定义中若取h(r)=r2，则广义PCET即为PCET。因此，本文提出的广义PCET，是PCET的推广，而近来提出的一些正交矩是所提广义PCET的特例。事实上，若取h(r)=r，可以验证上述广义PCET就是文献17 中提出的 EFM。若取h(r)=rs(s 0)，可以验证上述广义PCET就是文献 12 的分数阶极谐变换、文献 16 的广义极谐变换。若取h(r)=as(1-r)s+as-1(1-r)s-1(as+as-1=1，s 2)，上述广义PCET就是文献 13 提出的修正的广义极谐变换。也就是说，通过选取合适的h(r)可构造具有不同性质的广义PCET。后文将通过选取合适的h(r)调整PCET的径向函数实部和虚部的零点分布。1.3广义PCET的性质广义PCET具有旋转不变性和正交性。首先讨论广义PCET的旋转不变性。设f(r，)为f(r，)在极坐标系下沿逆时针方向旋转角度(0 2)后的图像，其中=+，f(r，)与f(r，)对应的广义PCET分别为GHnm与GHnm，则有|GHnm|=|GHnm|。事实上：GHnm=0201 f(r，)GV*nm(r，)rdrd=0201 f(r，+)GRn(r)e-imrdrd=0201 f(r，)GRn(r)e-im(+)rdrd(+)=e-im0201 f(r，)GRn(r)e-imrdrd=e-imGHnm因此|GHnm|=|GHnm|，即广义PCET具有旋转不变性。其 次 讨 论 广 义 PCET 的 正 交 性。可 以 验 证 基 函 数GVnm(r，)保持如下的正交性：0201GVnm(r，)GV*nm(r，)rdrd=0201h(r)2rei2nh(r)h(r)2rei2nh(r)eime-imrdrd=nnmm（9）由此可知，广义 PCET 的基函数GVnm(r，)在0 r 1，0 2上满足正交性。对于图像f(r，)，广义PCET利用GHnm对原始图像重构，所得重构图像记为f(r，)，即：图1n=7时，PCET与广义PCET的径向函数对比Fig.1Comparison of radial functions of PCET and generalized PCET with n=72500第 8 期曾泽芝等：零点分布更均匀的广义极谐复指数变换f(r，)=n=-KK m=-KKG HnmGVnm(r，)（10）其中：(n，m)(n，m)|(n，m)Z2，|n|+|m|K。2 零点分布更均匀的广义PCET改造 文献 14-16 指出，不均匀的零点分布导致图像矩在处理图像时的信息抑制问题。由图1可看出，PCET径向函数实部和虚部的零点分布都是不均匀的，它的零点在r=1附近分布较密集，在r=0附近分布较稀疏。本章通过选取构造函数h(r)改造PCET，以使PCET径向函数的零点整体地左移，从而缓解因零点分布不均匀所导致的信息抑制问题。2.1构造函数选定0 0，n Z，有rnk1 pnk1成立，其中0 k 0；r 0，1，k (0，2，从而对任意给定的阶数n，广义 PCET 径向函数实部的零点个数与 PCET 相同，均为2n。对任意取定的k1，rnk1是方程h(r)=k12n+14n的解，而pnk1为方程r2=k12n+14n的解。因此：h(rnk1)=p2nk1；k1 N，n 0（14）且有0 rnk1，pnk1 1，因此当0 k p3nk1(2-k)p2nk1(2-k)p3nk1 (3-k)p2nk1+(k-2)p3nk1 p2nk1 h(pnk1)p2nk1由式（14）得，h(pnk1)h(rnk1)，因此rnk1 pnk1。当k=2时，广义PCET退化为PCET，此时rnk1=pnk1。证毕。定理1表明，仅需以式（11）的方式选择0 k 2，便可构造出零点分布更均匀的广义PCET。广义PCET将PCET径向函数实部和虚部的零点左移，平衡了径向函数对图像中心区域及边缘区域的强调程度，一定程度上解决了PCET存在的信息抑制问题，且在原点处数值稳定。3 实验与结果分析 本章通过实验验证广义PCET的图像重构性能与旋转不变性，分别利用灰度图像及二值图像进行图像重构实验，最后验证旋转不变性及抗噪性能，并与PCET对比。3.1图像重构下面通过图像重构实验来检验广义PCET的重构性能，并将结果与 PCET 进行对比。实验中，式（8）的GHnm采用文献 7 所用的ZOA（Zero-Order Approximation）方法近似计算，再由式（10），得到重构图像f(r，)。原图像与重构图像的重构 误 差 NIRE（Normalized Image Reconstruction Error）12定义为：VNIRE=i=1N j=1Nf(xi，yj)-f(xi，yj)2i=1N j=1Nf(xi，yj)2（15）NIRE值越低，图像重构的效果越好，说明图像矩表示图像的能力越强。实验所用二值图像为图2所示的30幅汉字图像，每幅图像的分辨率为128 128，而灰度图像分别采用Coil-20库18中的20幅灰度图像和COREL库19中的100幅灰度图像，每幅图像的分辨率也是128 128。图230幅二值测试图像Fig.2Thirty binary test images首先在图 2 中选 1 幅二值图像，而在 Coil-20 库18和COREL库19中各选1幅灰度图像进行图像重构测试，重构的结 果 分 别 显 示 在 图 35 中。最 大 阶 数K选 择34，36，38，40，42，44，广义 PCET 的参数k选为1和1.3。将2501第 43 卷计算机应用PCET的结果也列在图中以进行对比。图3（a）是PCET对二值图像的重构，可以看到，当阶数K取值较大时，重构图像在上、下、左、右的边缘部分均出现了失真问题，并且随着K的增大，这种重构的失真更加明显。这是由于PCET的径向函数实部和虚部的零点分布不均匀，而导致了重构图像在边缘处产生了信息冗余现象。图 3（b）和图3（c）中广义PCET对k取1和1.3时的结果，可以看到，图3（a）中边缘部分重构失真的现象没有出现。这是因为所构造广义PCET径向函数实部和虚部的零点分布更均匀，边缘处的信息冗余现象没有过早地出现。再观察图4和图5中关于灰度图像重构的结果。图4（a）中 PCET 对灰度图像在边缘处出现了重构失真现象，而图4（b）和图4（c）中的广义PCET重构图像消除了失真。类似地，图5显示的结果也说明了这一点。这表明采用本文提出的PCET改造，能减少PCET在边缘处的信息冗余。为避免特殊性，对图 2中的 30幅汉字二值图像、Coil-20库18中的20幅灰度图像和COREL库19中的100幅灰度图像均进行重构测试，阶数K分别选为10，11，45。对于 30幅汉字二值图像，当K取定时，计算每幅图像的重构误差，再取平均值。将不同K的结果绘制成曲线图，显示在图6（a）中。类似地，将 Coil-20 库与 COREL 库的结果显示在图 6（b）和图6（c）中。由图6（a）中关于二值图像的结果可以看到，广义PCET的重构误差随着阶数K的增大而持续地降低，而PCET的重构误差在阶数K取 34 时便达到极小值点，随着K继续增大，PCET的重构误差不降反升。这表明在利用高阶矩重构图像时，广义PCET的重构性能优于PCET。从图6（b）和图6（c）中关于灰度图像的结果可以看到，当K 35时，PCET和广义PCET的重构误差都随着K的增大而持续地降低；当K 35时，PCET的误差达到极小值后开始增大，而广义PCET的重构误差仍持续降低。这说明对于灰度图像，广义 PCET 在利用高阶矩重构图像时，重构性能优于PCET，这与二值图像的结果一致。以上实验结果表明，本文提出的零点分布更均匀的广义PCET在二值图像与灰度图像中的重构性能均优于PCET。得益于更均匀的零点分布，广义PCET在利用高阶矩重构图像时，一定程度上解决了PCET在图像边缘处产生的信息冗余问题，进而改善了重构性能。3.2旋转不变性及抗噪性能本节仍用图 2 中的 30 幅二值图像、Coil-2018和 COREL库19中的灰度图像测试广义PCET的旋转不变性和抗噪性能，并将结果与PCET的结果对比。当阶数K取定时，各种方法采用的特征向量定义为(GH00，GH01，GHKK)，它的维数为(K+1)2。采用最近邻法进行分类，识别率以如下方式定义：=n N（16）其中：n表示正确识别出的图像数；N表示测试图像总数。PCET的结果虚线表示，广义PCET对k=1和k=1.3的结果分别用实线和点线表示。图3二值图像重构示例Fig.3Examples of reconstruction results of binary image图4灰度图像重构示例（Coil-20库）Fig.4Examples of reconstruction results of gray-scale image（Coil-20 database）图5灰度图像重构示例（COREL库）Fig.5Examples of reconstruction results of gray-scale image（COREL database）图6二值图像与灰度图像的平均重构误差曲线Fig.6Curves of average reconstruction error of binary images and gray-scale images2502第 8 期曾泽芝等：零点分布更均匀的广义极谐复指数变换对 于 图 2 中 的 30 幅 二 值 图 像 中 的 每 一 幅 作0，10，350的旋转，得到1 080幅测试图像，再对这些测试图像分别添加强度为0，0.1，0.5的椒盐噪声，最大阶数K分别选为3、6和9，识别率分别显示在图7中。可以看到，当无噪声时（噪声强度为0），各种方法均有100%的识别率，这验证了PCET和广义PCET的旋转不变性。当阶数K相同时，随着噪声强度增大，广义 PCET 与 PCET 的识别率均逐渐降低；相同噪声强度下，随着阶数K的增加，PCET和广义PCET的识别率均得到提升，也就是说，随着特征数量的增加，抗噪性能逐渐增强。对比PCET和广义PCET，广义PCET的识别率均高于PCET的识别率，说明广义PCET在二值图像的抗噪性能优于PCET。对 Coil-2018库中的 20 幅灰度图像中的每一幅也作0，10，350的旋转，得到720幅测试图像，然后对这些测试图像分别添加强度为0，0.05，0.25的高斯噪声和强度为0，0.1，0.5的椒盐噪声，最大阶数仍分别选为3、6和9。高斯噪声和椒盐噪声的结果分别列在图8和图9中。对 COREL 库19中 的 100 幅 图 像 中 的 每 幅 也 作0，10，350的旋转，得到3 600幅测试图像，然后对这些测试图像分别添加强度为0，0.05，0.25的高斯噪声和强度为0，0.1，0.5的椒盐噪声，最大阶数仍分别选为3、6和9。高斯噪声和椒盐噪声的结果分别列在图10和图11中。观察图811，可以看到，当噪声强度为0时，PCET和广义PCET对灰度图像的识别率仍为 100%，验证了 PCET和广义PCET的旋转不变性。当阶数K相同时，随着噪声强度增大，广义PCET与PCET的识别率均逐渐降低；相同噪声强度下，图820幅灰度图像（Coil-20库）在不同强度高斯噪声下的识别率Fig.8Recognition rates of 20 gray-scale images（Coil-20 database）with different intensities of Gaussian noise图920幅灰度图像（Coil-20库）在不同强度椒盐噪声下的识别率Fig.9Recognition rates of 20 gray-scale images（Coil-20 database）with different intensities of salt-and-pepper noise图730幅汉字图像在不同强度椒盐噪声下的识别率Fig.7Recognition rates of 30 Chinese character images with different intensities of salt-and-pepper noise图10100幅灰度图像（COREL库）在不同强度高斯噪声下的识别率Fig.10Recognition rates of 100 gray-scale images（COREL database）with different intensities of Gaussian noise2503第 43 卷计算机应用随着阶数K的增大，广义PCET与PCET的识别率均得到提升，说明随着选取特征的数量增加，抗噪性能逐渐提高。更重要的是，从图 711结果来看，对于灰度图像与二值图像，广义PCET的正确识别率均高于PCET。以上实验结果表明，无论灰度图像还是二值图像，广义PCET对高斯噪声和椒盐噪声的抗噪性能均优于PCET。也就是说，本文提出的零点分布更均匀的广义PCET具有旋转不变性，且抗噪性能优于PCET。4 结语 PCET计算简便且应用广泛，然而其径向函数实部和虚部的零点分布不均匀，导致信息抑制问题。本文通过改造PCET的径向函数，将PCET推广为广义PCET，并说明近来出现的EFM17、分数阶极谐变换12、广义极谐变换16、修正的广义极谐变换13等均是其特例；针对PCET径向函数实部和虚部的零点分布不均匀问题，选取了构造函数，使广义PCET径向函数的实部和虚部的零点分布更均匀。理论分析和实验结果表明，广义PCET同样具有旋转不变性和正交性，图像重构性能及抗噪性能均优于PCET，一定程度上解决了PCET因零点分布不均匀而导致的信息抑制问题，且在原点处数值稳定。今后将尝试PCET径向函数的进一步改造，构造性态更优的广义PCET。参考文献（References）1 FLUSSER J，SUK T，ZITOV B.Moments and Moment Invariants in Pattern Recognition M.Chichester：John Wiley&Sons，Inc.，2009.2 张伟，何金国.Hu 不变矩的构造与推广 J.计算机应用，2010，30（9）：2449-2452.（ZHANG W，HE J G.Construction and generalization of Hu moment invariantsJ.Journal of Computer Applications，2010，30（9）：2449-2452.）3 KARAKASIS E G，PAPAKOSTAS G A，KOULOURIOTIS D E，et al.Generalized dual Hahn moment invariants J.Pattern Recognition，2013，46（7）：1998-2014.4 SINGH C，SINGH J.A survey on rotation invariance of orthogonal moments and transformsJ.Signal Processing，2021，185：No.108086.5 HOSNY K M，DARWISH M M，ABOELENEN T.Novel fractional-order generic Jacobi-Fourier moments for image analysis 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