直线与圆综合复习教师.doc

省丹中高一创新班期末复习讲义 直线与圆1
直线与圆1

【教学目标】
1.掌握直线方程的几种形式，能判断两直线平行或垂直的位置关系，能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．理解两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求与此有关的距离问题．
2.掌握圆的标准方程与一般方程，并能判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系，初步了解用代数方法处理几何问题的思路．
【重点与难点】
1. 掌握直线方程的几种形式；
2. 掌握圆的标准方程与一般方程，并能判断直线与圆的位置关系、两圆的位置关系。
【教学过程】
一、知识要点
1．直线的倾斜角
(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴所在的直线绕着
按 方向旋转到和直线重合时所转的 记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．
(2)当直线与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角 ．
(3)倾斜角的取值范围是 ．
2．直线的斜率
(1) 倾斜角不是 的直线，它的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k表示，即k＝ ．
(２)经过两点和的直线的斜率公式为：k＝ 　　　 ．
３．直线方程的几种形式：
名称
方程的形式
适用范围
点斜式

不能表示垂直于x轴的直线
斜截式

不能表示垂直于x轴的直线
两点式

不能表示垂直于x轴和y轴的直线
截距式

不能表示垂直于x轴和y轴以及过原点的直线
一般式

无限制，可表示任意位置的直线
４．平行
(1)若两条直线的斜率k1、k2均存在，在y轴上的截距分别为b1、b2，则l1∥l2的充要条件是 ．
(2)若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2的充要条件为　　　　　　　　　　　　　　　　　．
５．垂直
(1)若两条直线的斜率k1，k2均存在，则l1⊥l2⇔ ．
(2)若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔ ．
６．点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝ ，特别地，两条平行直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝ 　　　　　 ．
７．直线系方程
(1)平行直线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以表示为 　　　　 ．
(2)垂直直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可以表示为 ．
(3)过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系为：
　 ．
８．圆的方程
(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)其中圆心为 ，半径为 .
９．直线l∶Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系

2

(1) 几何方法：
圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离
d＝ ，
⇔直线与圆相交；
⇔直线与圆相切；
⇔直线与圆相离．

(2)代数方法：
由 消元，
得到一元二次方程判别式为Δ，则
　 ⇔直线与圆相交；
⇔直线与圆相切；
⇔直线与圆相离．

省丹中高一创新班期末复习讲义 直线与圆1

10．两圆的位置关系：（设两圆的半径分别为，圆心距为）
外离
外切
相交
内切
内含

二、填空题
1.(2010年苏州质检)直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是a＝_______。
解析：由两条直线平行可知∴a＝－2.
答案：－2
2. (2009年高考安徽卷改编)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是
　　　　　　　。
解析：由题意知，直线l的斜率为－，因此直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
答案：3x＋2y－1＝0
3. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是　　　　　　　　　　　　．
解析：由题意，设圆心(x0,1)，∴＝1，解得x0＝2或x0＝－(舍)，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1
4.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________________．
解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，
∴
解得圆C2的半径为1，
∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
5. (2009年高考天津卷) 若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________．
解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝，如图，由已知|AC|＝，|OA|＝2，有|OC|＝＝1，∴a＝1.
答案：1

三、典例精讲
题型一：直线的倾斜角与斜率
例1．已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)、B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
法一：（数形结合）
(－∞，]∪[5，＋∞)．

法二：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
∵A、B两点在直线的两侧或其中一点的直线l上，
∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0，
即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5或k≤.
即直线l的斜率k的取值范围是
(－∞，]∪[5，＋∞)．
题型二：直线的位置关系
例2．求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．

题型三：圆的方程
例3. 根据下列条件求圆的方程：
(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；
(2)已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程；
(3)已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为.
（1）
（2）或
（3）或

题型四：直线与圆的位置关系
例４．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0，与圆C相切的直线l交x轴、y轴的正方向于A、B两点，O为原点，OA＝a，OB＝b(a>2，b>2)．
(1)求证：圆C与直线l相切的条件是(a－2)(b－2)＝2；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
(3)求△AOB面积的最小值．
解 依题意得，直线L的方程为 +=1即bx+ay-ab=0，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1
（1） ∵直线与圆相切, ∴=1,化简: (a-2)(b-2)=2 ①
（2） 设AB的中点为，则代人①得：
（3） 由(a-2)(b-2)=2, 得ab=2a+2b-2 ∴SΔAOB=|ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3≥2+3=2+3, 当且仅当a=b=2+时，面积有最小值：2+3.

四、走进高考（模拟）

1. 在△ABC中，BC边上的高所在直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B坐标为(1,2)，求点A和C的坐标．
分析：利用高线与∠A的平分线求得点A坐标,然后求出直线AC与BC的方程,从而求出C点坐标.
解 A点既在BC边的高线上,又在∠A的平分线上,
由得A(-1,0)，∴kAB=1,而x 轴是角A的平分线, ∴kAC= –1,
∴AC边所在直线方程为y=-(x+1) ①
又kBC= –2, ∴BC边所在直线方程为y–2=–2(x–1) ②
联立① ②得C的坐标为(5,–6)
点拨： 综合运用三角形和直线有关知识,寻找解题突破口,将问题转化为先求一些直线方程,再求直线的交点.这是解决这一类问题的常用办法.
2. (2009年高考上海卷改编) 求点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程。
答案：
设是圆x2＋y2＝4上任一点，是PM的中点，则
解得，代人圆x2＋y2＝4方程，得，
即为所求的轨迹方程
3.已知⊙和点.
(Ⅰ)过点向⊙引切线,求直线的方程;
(Ⅱ)求以点为圆心,且被直线截得的弦长为4的⊙的方程;
(Ⅲ)设为(Ⅱ)中⊙上任一点,过点向⊙引切线,切点为. 试探究:平面内是否存在一定点,使得为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.
M
x
y
o
·
第19题

【答案】