直线与圆综合复习(如中).doc

课题：直线与圆综合复习
【教学目标】
1.掌握直线方程的几种形式，能判断两直线平行或垂直的位置关系，能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．理解两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求与此有关的距离问题．
2.掌握圆的标准方程与一般方程，并能判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系，初步了解用代数方法处理几何问题的思路．
【重点与难点】
1. 掌握直线方程的几种形式；
2. 掌握圆的标准方程与一般方程，并能判断直线与圆的位置关系、两圆的位置关系。
【教学过程】
一、热身训练
1.直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行则a＝_______。
解析：由两条直线平行可知∴a＝－2.
答案：－2
2. 直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是　　　　　　　。
解析：由题意知，直线l的斜率为－，因此直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
答案：3x＋2y－1＝0
3. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是　　　　　　　　　　　　．
解析：由题意，设圆心(x0,1)，∴＝1，解得x0＝2或x0＝－(舍)，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1
4.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________________．
解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，
∴
解得圆C2的半径为1，
∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
5. 若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________．
解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝，如图，由已知|AC|＝，|OA|＝2，有|OC|＝＝1，∴a＝1.
答案：1
二、知识要点
1．直线的倾斜角
(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴所在的直线绕着
按 方向旋转到和直线重合时所转的 记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．
(2)当直线与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角 ．
(3)倾斜角的取值范围是 ．
2．直线的斜率
(1) 倾斜角不是 的直线，它的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k表示，即k＝ ．
(２)经过两点和的直线的斜率公式为：k＝ 　　　 ．
３．直线方程的几种形式：
名称
方程的形式
适用范围
点斜式

不能表示垂直于x轴的直线
斜截式

不能表示垂直于x轴的直线
两点式

不能表示垂直于x轴和y轴的直线
截距式

不能表示垂直于x轴和y轴以及过原点的直线
一般式

无限制，可表示任意位置的直线
４．平行
(1)若两条直线的斜率k1、k2均存在，在y轴上的截距分别为b1、b2，则l1∥l2的充要条件是 ．
(2)若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2的充要条件为　　　　　　　　　　　　　　　　　．
５．垂直
(1)若两条直线的斜率k1，k2均存在，则l1⊥l2⇔ ．
(2)若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔ ．
６．点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝ ，特别地，两条平行直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝ 　　　　　 ．
７．直线系方程
(1)平行直线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以表示为 　　　　 ．
(2)垂直直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可以表示为 ．
(3)过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系为：
　 ．
８．圆的方程
(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)其中圆心为 ，半径为 .
９．直线l∶Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系

3

(1) 几何方法：
圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离
d＝ ，
⇔直线与圆相交；
⇔直线与圆相切；
⇔直线与圆相离．
(2)代数方法：
由 消元，
得到一元二次方程判别式为Δ，则
　 ⇔直线与圆相交；
⇔直线与圆相切；
⇔直线与圆相离．
2012．06如中期末数学复习资料：直线和圆综合复习
10．两圆的位置关系：（设两圆的半径分别为，圆心距为）
外离
外切
相交
内切
内含

三、典例精讲
题型一：直线的倾斜角与斜率
例1．已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)、B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
法一：（数形结合）
(－∞，]∪[5，＋∞)．
法二：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
∵A、B两点在直线的两侧或其中一点的直线l上，
∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0，
即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5或k≤.
即直线l的斜率k的取值范围是
(－∞，]∪[5，＋∞)．
题型二：直线的位置关系
例2．求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．

题型三：圆的方程
例3. 根据下列条件求圆的方程：
(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；
(2)已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程；
(3)已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为.
（1）
（2）或
（3）或

题型四：直线与圆的位置关系
例４．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0，与圆C相切的直线l交x轴、y轴的正方向于A、B两点，O为原点，OA＝a，OB＝b(a>2，b>2)．
(1)求证：圆C与直线l相切的条件是(a－2)(b－2)＝2；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
(3)求△AOB面积的最小值．
解 依题意得，直线L的方程为 +=1即bx+ay-ab=0，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1
（1） ∵直线与圆相切, ∴=1,化简: (a-2)(b-2)=2 ①
（2） 设AB的中点为，则代人①得：
（3） 由(a-2)(b-2)=2, 得ab=2a+2b-2 ∴SΔAOB=|ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3≥2+3=2+3, 当且仅当a=b=2+时，面积有最小值：2+3.

四、走进高考（模拟）
1. 在△ABC中，BC边上的高所在直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B坐标为(1,2)，求点A和C的坐标．
分析：利用高线与∠A的平分线求得点A坐标,然后求出直线AC与BC的方程,从而求出C点坐标.
解 A点既在BC边的高线上,又在∠A的平分线上,
由得A(-1,0)，∴kAB=1,而x 轴是角A的平分线, ∴kAC= –1,
∴AC边所在直线方程为y=-(x+1) ①
又kBC= –2, ∴BC边所在直线方程为y–2=–2(x–1) ②
联立① ②得C的坐标为(5,–6)
点拨： 综合运用三角形和直线有关知识,寻找解题突破口,将问题转化为先求一些直线方程,再求直线的交点.这是解决这一类问题的常用办法.
2. (2009年高考上海卷改编) 求点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程。
答案：
设是圆x2＋y2＝4上任一点，是PM的中点，则
解得，代人圆x2＋y2＝4方程，得，
即为所求的轨迹方程
3. (2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
【解析】：本小题考查二次函数图像和性质、圆的方程的求法。
（1）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）
令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0
（2）设所求圆的一般方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0
令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b
令x=0，得y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1
所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0
（3）圆C必过定点（0，1），（-2，1）
证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b+1）×1+b=0，右边=0
所以圆C必过定点（0，1）；同理可证圆C必过定点（-2，1）。
4.（2012年江苏高考第12题）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是______________
五、课堂小结
1．合理选择适当的直线方程形式，并注意适用条件。
2．直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合运用。
3. 注重数形结合思想，借助图形，直观地作出判断，注意几何性质的运用。
六、课后练习：
1．已知的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则BC边所在直线的方程为 ．
2．已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则　　　　　　　．
3．直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是_________．
4．设直线l1、l2的倾斜角分别为θ1、θ2，斜率分别为k1、k2，且θ1+θ2=90°,则k1+k2的最小值是 ．
5.已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　
6.已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C：x2＋y2 = m2，当圆C与线段AB没有公共点时，求m的取值范围 .
7．若直线y＝x＋m与曲线＝x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为________．
8．如果点P在平面区域上,点O在曲线
最小值为 ．
9．M(为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为 ．
10．过直线和圆的交点的圆，并且面积最小，满足此条件的圆的方程为____ __．
11．已知平面上的点，则满足条件的点P所组成的图形的面积为_____ __．
12．已知点为圆内一点，求过P的最短的弦所在的直线方程为_________．
13．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是___________．
14．在圆内过点有条弦，其长度成等差数列，过P点的最小弦长为数列的首项，最大弦长为数列的末项，若公差，那么的取值可以是____．
15．已知：是圆上两点，为坐标原点，且，则__________．
16．若由不等式组确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆
心在轴上，则实数m的值为____ ___．
17．过点P(2，1)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A、B两点．求取得最小值时直线的方程．

18．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.

甲
乙
丙
维生素A（单位/千克）
600
700
400
维生素B（单位/千克）
800
400
500
成本（元/千克）
11
9
4
（Ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元；
（Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低．

19．直线l过P（-2，1）且斜率为k(k>1)，将直线l绕P点按逆时针方向旋转45°得直线m, 若直线l和m分别与y轴交于Q、R两点，则当k为何值时，△PQR的面积最小？并求出面积最小时直线l的方程.

20.自点(－3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆
相切，求光线L所在直线方程．

21．已知圆C: x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由

22．已知点在圆上运动.
（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.

23．讨论两圆与的位置关系．（其中）

24.设直线与圆交于两点，且关于直线对称，
（1）求的值；
（2）若直线与圆交于两点，是否存在实数使得，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．