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函数方程不等式专题高考要求:三个“二次”即二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法是很重要的.重难点归纳 1. 二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法:来源:(2)当,在区间上的最大值，最小值,令若,则,.若,则,.若,则,若,则,.2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r 来源:Z&xx&k.Com来源:学#科#网Z#X#X#K(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)f(q)0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(pq)3 二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是(,),+a0时，f()f() |+|+|,当a0时，f()|+|;(3)当a0时，二次不等式f(x)0在p,q恒成立或(4)f(x)0恒成立典型题例示范讲解 例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；来源:Zxxk.Com(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围(1)证明由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=,x1x2=|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的对称轴方程是(2,)时，为减函数|A1B1|2(3,12),故|A1B1|()来源:Z&xx&k.Com例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围 解 (1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组(这里0m1是因为对称轴x=m应在区间(0，1)内通过)例3已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x24ax+2a+12(aR)的值都是非负的，求关于x的方程=|a1|+2的根的取值范围解由条件知0,即(4a）24(2a+12)0,a2(1)当a1时，原方程化为x=a2+a+6,a2+a+6=(a)2+a=时，xmin=,a=时，xmax=x(2)当1a2时，x=a2+3a+2=(a+)2来源:学|科|网当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,6x12综上所述,x12学生巩固练习 1 若不等式(a2)x2+2(a2)x40),若f(m)0,则实数p的取值范围是_4 二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)0且a1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)若x(0,2时，y有最小值8，求a和x的值6 如果二次函数y=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围7 二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m0,求证(1)pf()0,则f(0)0,而f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)0答案A3 解析 只需f(1)=2p23p+90或f(1)=2p2+p+10即3p或p1p(3, )答案 (3，）4 解析 由f(2+x)=f(2x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，|12x22|1+2xx22|,2x0答案2x0来源:学,科,网Z,X,X,K5 解 (1）由loga得logat3=logty3logta由t=ax知x=logat，代入上式得x3=,logay=x23x+3，即y=a (x0)(2)令u=x23x+3=(x)2+ (x0),则y=au若0a1,要使y=au有最小值8，则u=(x)2+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值若a1,要使y=au有最小值8，则u=(x)2+,x(0,2应有最小值当x=时，umin=,ymin=由=8得a=16所求a=16,x=6 解 f(0)=10来源:Z*xx*k.Com(1)当m0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意(2）当m0时，则解得0m1综上所述，m的取值范围是m|m1且m07 证明 (1),由于f(x)是二次函数，故p0,又m0,所以，pf()0(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r当p0时，由(1）知f()0若r0,则f(0)0,又f()0,所以f(x)=0在(0，)内有解;若r0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=()+r=0,又f()0,所以f(x)=0在(,1)内有解当p0时同理可证8 解 (1）设该厂的月获利为y,依题意得y=(1602x)x(500+30x)=2x2+130x500由y1300知2x2+130x5001300x265x+9000，(x20)(x45)0，解得20x45当月产量在2045件之间时，月获利不少于1300元(2）由(1）知y=2x2+130x500=2(x)2+16125x为正整数，x=32或33时，y取得最大值为1612元，来源:学科网ZXXK当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元- 7 -