方程、方程组及不等式、不等式组.doc

年 级初三学 科数学版 本人教版内容标题方程、方程组及不等式、不等式组编稿老师马丽娜【本讲教育信息】一。 教学内容： 方程、方程组及不等式、不等式组 学习目标： 1. 掌握一元一次、一元二次方程的概念、解法及应用；能解二元一次、二元二次、三元一次方程组，会简单应用. 2。 类比方程（组）的知识点，掌握不等式(组）的知识点.二. 重点、难点 1。 方程的有关概念，同解原理 2. 方程的分类 3。 一元一次方程 ，a一次项系数,b常数项 求根公式:唯一实根 4。 一元二次方程 a二次项系数;b一次项系数;c常数项 根的判别式: 当时,求根公式 解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 当时,根与系数a、b、c关系 , 构造以为根的方程 有无数个，构造以1为二次项系数的 5。 分式方程 定义；解法：分式化整式，注意验根；解的个数 6。 方程组的有关概念 7。 二元一次方程组,二元二次方程组，三元一次方程组 解法思路：消元、降次 方法：代入法、加减法 8. 解的情况:个数 9. 不等式的概念：，或， 10。 不等式的基本性质及同解原理 11. 不等式的解集及解法，解的个数 12。 利用数轴确定一元一次不等式组的解集 13。 注意类比的方法 14. 绝对值不等式、分式不等式要转化成不等式组来解，可看作不等式组的应用。【典型例题】 例1. 已知关于x的方程与的解相同，求m的值。 解：的解为 的解为 两个方程的解相同， 说明：若要求x的值是多少，不必将m2代入原方程，只需代入或，得 例2。 解下列方程 (1） （2） 解:(1）方程两边同乘12，得 去括号,得 移项,得 合并同类项，得 说明:解一元一次方程是解其它方程的基础，基本思路是把方程变形为最简方程，再求解。 （2）利用公式的基本性质，原方程化为： 去分母，得 说明：注意不要将分式的性质和等式的性质相混淆. 例3. 解下列方程 （1) （2） 解:（1）设，则 原方程可化为 则有 整理，得 解得 当时， 当时, ，此方程无实根 经检验，是原方程的根。 （2）设，则 原方程化为 整理得 解得 当时， 整理得 解得 当时, 整理得 解得 经检验，都是原方程的根。 例4。 不解方程，判断关于x的方程的根的情况。 解：原方程整理为 即，故原方程没有实数根。 例5. m为何值时,方程（1)无实根；（2）有实根；(3）只有一个实根；（4）有两个实根；（5）有两个不等实根；(6)有两个相等实根. 解:(1）分两种情况： 当m1时，方程为，它有一个实根，不符合题意，舍去; 当时, 只需，即时无实根 （2)分两种情况，当时，即 且时方程有两个实根 当m1时，方程为有一个实根 综上所述，即时,方程有实根 (3）当m1时，方程为一元一次方程,只有一个实根 （4）当，即且时，方程有两个实根 （5）当，即且时，方程有两个不等实根 （6)当，即时方程有两个相等实根 说明：一定要注意审题，区别题目的不同问法. 例6. 已知关于x的一元二次方程（m为实数）的两个实数根的倒数和大于零，求m的取值范围。 解：由题意知,应满足 解由1知： 由得： 把3、4代入5，得： 综上所述，且 说明：解决这类题目，常常需要列出五个条件。在本题中，式因为是一元二次方程，故二次项系数；2式因为有两个实数根，故;为一元二次方程根与系数的两个关系式；5是本题关于一元二次方程两实根的特殊条件。这五个条件综合起来,此题方可解出。所以同学在审题时一定要认真分析题目中的每个词语，不要遗漏条件,特别要注意挖掘隐含条件。 例7。 （1）设是关于x的方程的两个根，求证：； （2）如果关于x的方程及方程均有实数根，问方程与方程是否有相同的根？若有，请求出这个相同的根；若没有，请说明理由。 证明：（1）由题意，得 即原等式成立。 （2）解：设方程与方程有相同的实数根a，则可得: ，变形为 即 若，则，代入方程及 两方程均为，无实根 ，即 则，即 两个方程有相同的实数根。 说明：第（2）问的解法是有关“两个一元二次方程有相同根”问题的一个常见解法，注意分类讨论. 例8。 已知：是关于x的方程的两个实根，且,求m的值。 解：由一元二次方程根与系数的关系，有： 均不为零 ，即异号 取 设，则 整理得 将和分别代入中，符合 反思： 通过此题的分析及解题过程，应注意以下几点： （1）由去掉绝对值符号时，一定要考虑的正、负； （2）求m的过程中，通过设参数较为简便,也可利用的关系代入去求； （3）求出m的值后，还应代入去检验是否符合。 例9. 解方程组: 解法一:(用代入法) 由2得： 把3代入得： 整理，得 把代入3，得 把代入3，得 原方程组的解为， 解法二：（用因式分解法） 方程可化为 即 或 原方程组可化为: 和 分别解得， 说明:此题为I型二元二次方程组，一般可用代入法求解，当求出一个未知数的值后，一定要代入到二元一次方程中去求另一个未知数的值。 例10. 解方程组 解:由1得： 或 由2，得 或 原方程组化为以下四个方程组： ， 原方程组的解为： 说明：此题为II型二元二次方程组,要注意根据方程的特点,选择恰当的方法去解。 例11。 解下列方程组： （1） （2） （3） （1）分析：此题是I型二元二次方程组,可以用代入法来解，再介绍另外一种解法. 解：方程1是x与2y的和,方程2是x与2y的积 x与2y是方程的两个根 解此方程得 或 即原方程组的解是， （2）解：得： ， 得： 可化为以下四个方程组： ,， 原方程组的解为 说明：（1）题可以看成特殊类型的方程组，可用一元二次方程的根与系数的关系来解。 （2）题是型的二元二次方程组,另外还有型的二元二次方程组，也有简便的特殊解法。 （3）解:设，那么原方程组变为 解关于z和x的方程组,得 ，即 解得 经检验是原方程组的解 说明：(3）题是分式方程组，这类方程组要设法转化成整式方程组来解，需要检验，有时在应用题或综合题中会遇到。 例12. 已知方程组有两个不相等的实数解 (1）求k的取值范围 （2）若方程组的两个实数解为和是否存在实数k,使,若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 解:（1）原方程组可化成 由题意可知 即 且时，方程组有两个不相等的实数解。 （2） ,去分母同乘 解得 舍去 即当时，成立 例13。 解不等式组的自然数解。 解：由1得 由2得 不等式组的解中自然数有0，1，2 例14. 解下列不等式 （1） （2） 解：（1) （2）或 解得或 不等式组无解，不等式组2的解集为： 原不等式的解集为:【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题 1。 下面四个方程中，有两个不等实根的是（ ) A。 B. C。 D. 2. 已知方程的两根为,则以为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是方程组的解，则( ) A. B。 C. D。 4. 已知一个矩形周长为24，宽的长度不超过4，则长a的取值范围是( ） A. B. C. D. 5. 已知不等式组解集是,则m的值是( ） A. 6B。 C. D。 3二。 填空题 6。 设，则的值为_ 7。 如果方程的两个实根互为相反数,则m_；若两实根互为倒数,则m_，若有一个实根为0,则m_。 8. 已知方程，如果方程有两个实根,则k_。 9。 关于x的一元二次方程和有一个相同的实根,则m_，这个相同的根是_。 10. 函数的定义域是_。 11。 已知，且，用不等号连接_.三。 解答题 12。 13。 14. 15。 16. 17. 18. 19。 求的自然数解。 20。 求的整数解之和。【试题答案】一。 选择题 1。 D2. B3. A4. D5。 A二. 填空题 6。 或37. 1;8；58. 且 9。 m2根为1 10。 且 11。 三。 解答题 12. 13。 114。 3，6 15。 ， 16。 17。 18。 19. 自然数解为0和1 20. 14