方程、方程组及不等式、不等式组.doc

年 级
初三
学 科
数学
版 本
人教版
内容标题
方程、方程组及不等式、不等式组
编稿老师
马丽娜

【本讲教育信息】
一。 教学内容：
方程、方程组及不等式、不等式组

学习目标：
1. 掌握一元一次、一元二次方程的概念、解法及应用；能解二元一次、二元二次、三元一次方程组，会简单应用.
2。 类比方程（组）的知识点，掌握不等式(组）的知识点.

二. 重点、难点
1。 方程的有关概念，同解原理①②
2. 方程的分类

3。 一元一次方程
①，a一次项系数,b常数项
②求根公式:唯一实根
4。 一元二次方程
①
a二次项系数;b一次项系数;c常数项
②根的判别式:

③当时,求根公式

④解法：
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
⑤当时,根与系数a、b、c关系
,
⑥构造以为根的方程
有无数个，构造以1为二次项系数的

5。 分式方程
①定义；②解法：分式化整式，注意验根；③解的个数
6。 方程组的有关概念
7。 二元一次方程组,二元二次方程组，三元一次方程组
①解法思路：消元、降次
②方法：代入法、加减法
8. 解的情况:个数
9. 不等式的概念：，或，
10。 不等式的基本性质①②③及同解原理
11. 不等式的解集及解法，解的个数
12。 利用数轴确定一元一次不等式组的解集
13。 注意类比的方法
14. 绝对值不等式、分式不等式要转化成不等式组来解，可看作不等式组的应用。

【典型例题】
例1. 已知关于x的方程与的解相同，求m的值。
解：的解为
的解为
两个方程的解相同，

说明：若要求x的值是多少，不必将m＝2代入原方程，只需代入或，得

例2。 解下列方程
(1）
（2）
解:(1）方程两边同乘12，得

去括号,得
移项,得
合并同类项，得

说明:解一元一次方程是解其它方程的基础，基本思路是把方程变形为最简方程，再求解。
（2）利用公式的基本性质，原方程化为：

去分母，得

说明：注意不要将分式的性质和等式的性质相混淆.

例3. 解下列方程
（1)
（2）
解:（1）设，则
原方程可化为
则有
整理，得
解得
当时，

当时,
，此方程无实根
经检验，是原方程的根。
（2）设，则
原方程化为
整理得
解得
当时，
整理得
解得
当时,
整理得
解得
经检验，都是原方程的根。

例4。 不解方程，判断关于x的方程的根的情况。
解：原方程整理为

即，故原方程没有实数根。

例5. m为何值时,方程（1)无实根；（2）有实根；(3）只有一个实根；（4）有两个实根；（5）有两个不等实根；(6)有两个相等实根.
解:(1）分两种情况：
①当m＝1时，方程为，它有一个实根，不符合题意，舍去;
②当时,
只需，即时无实根
（2)分两种情况，当时，即
且时方程有两个实根
当m＝1时，方程为有一个实根
综上所述，即时,方程有实根
(3）当m＝1时，方程为一元一次方程,只有一个实根
（4）当，即且时，方程有两个实根
（5）当，即且时，方程有两个不等实根
（6)当，即时方程有两个相等实根
说明：一定要注意审题，区别题目的不同问法.

例6. 已知关于x的一元二次方程（m为实数）的两个实数根的倒数和大于零，求m的取值范围。
解：由题意知,应满足
解由〈1>知：
由<2>得：

把〈3〉、〈4>代入〈5>，得：

综上所述，且
说明：解决这类题目，常常需要列出五个条件。在本题中，<1>式因为是一元二次方程，故二次项系数；〈2>式因为有两个实数根，故;<3〉、〈4>为一元二次方程根与系数的两个关系式；<5〉是本题关于一元二次方程两实根的特殊条件。这五个条件综合起来,此题方可解出。所以同学在审题时一定要认真分析题目中的每个词语，不要遗漏条件,特别要注意挖掘隐含条件。

例7。 （1）设是关于x的方程的两个根，求证：；
（2）如果关于x的方程及方程均有实数根，问方程与方程是否有相同的根？若有，请求出这个相同的根；若没有，请说明理由。
证明：（1）由题意，得

即原等式成立。
（2）解：设方程与方程有相同的实数根a，则可得:

，变形为
即
若，则，代入方程及
两方程均为，，无实根
，即
则，即
两个方程有相同的实数根。
说明：第（2）问的解法是有关“两个一元二次方程有相同根”问题的一个常见解法，注意分类讨论.

例8。 已知：是关于x的方程的两个实根，且,求m的值。
解：由一元二次方程根与系数的关系，有：

均不为零
，即异号
取
设，则

整理得

将和分别代入中，符合

反思：
通过此题的分析及解题过程，应注意以下几点：
（1）由去掉绝对值符号时，一定要考虑的正、负；
（2）求m的过程中，通过设参数较为简便,也可利用的关系代入去求；
（3）求出m的值后，还应代入去检验是否符合。

例9. 解方程组:

解法一:(用代入法)
由〈2〉得：
把〈3〉代入<1>得：

整理，得

把代入<3〉，得
把代入〈3〉，得
原方程组的解为，
解法二：（用因式分解法）
方程<1>可化为
即
或
原方程组可化为:
和
分别解得，
说明:此题为I型二元二次方程组，一般可用代入法求解，当求出一个未知数的值后，一定要代入到二元一次方程中去求另一个未知数的值。

例10. 解方程组
解:由<1〉得：
或
由〈2〉，得
或
原方程组化为以下四个方程组：
，，，
原方程组的解为：

说明：此题为II型二元二次方程组,要注意根据方程的特点,选择恰当的方法去解。

例11。 解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
（1）分析：此题是I型二元二次方程组,可以用代入法来解，再介绍另外一种解法.
解：方程<1〉是x与2y的和,方程〈2〉是x与2y的积
x与2y是方程的两个根
解此方程得
或
即原方程组的解是，
（2）解：得：
，
得：

可化为以下四个方程组：
,，，
原方程组的解为
说明：（1）题可以看成特殊类型的方程组，可用一元二次方程的根与系数的关系来解。
（2）题是型的二元二次方程组,另外还有型的二元二次方程组，也有简便的特殊解法。
（3）解:设，那么原方程组变为
解关于z和x的方程组,得
，即

解得
经检验是原方程组的解
说明：(3）题是分式方程组，这类方程组要设法转化成整式方程组来解，需要检验，有时在应用题或综合题中会遇到。

例12. 已知方程组有两个不相等的实数解
(1）求k的取值范围
（2）若方程组的两个实数解为和是否存在实数k,使,若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
解:（1）原方程组可化成
由题意可知
即
且时，方程组有两个不相等的实数解。
（2）

,去分母同乘

解得

舍去
即当时，成立

例13。 解不等式组的自然数解。
解：由〈1〉得
由〈2〉得

不等式组的解中自然数有0，1，2

例14. 解下列不等式
（1）
（2）
解：（1)

（2）或
解得或
不等式组<1>无解，不等式组〈2>的解集为：
原不等式的解集为:

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 选择题
1。 下面四个方程中，有两个不等实根的是（ )
A。 B.
C。 D.
2. 已知方程的两根为,则以为根的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知是方程组的解，则( )
A. B。 C. D。
4. 已知一个矩形周长为24，宽的长度不超过4，则长a的取值范围是( ）
A. B.
C. D.
5. 已知不等式组解集是,则m的值是( ）
A. 6 B。 C. D。 3

二。 填空题
6。 设，则的值为___________
7。 如果方程的两个实根互为相反数,则m＝_________；若两实根互为倒数,则m＝_________，若有一个实根为0,则m＝________。
8. 已知方程，如果方程有两个实根,则k＝_______。
9。 关于x的一元二次方程和有一个相同的实根,则m＝________，这个相同的根是____________。
10. 函数的定义域是___________。
11。 已知，且，用不等号连接________.

三。 解答题
12。
13。
14.
15。
16.
17.
18.
19。 求的自然数解。
20。 求的整数解之和。

【试题答案】
一。 选择题
1。 D 2. B 3. A 4. D 5。 A
二. 填空题
6。 或3 7. 1;8；5 8. 且
9。 m＝2根为－1
10。 且
11。 <
三。 解答题
12. 13。 1 14。 －3，6
15。 ，
16。
17。
18。
19. 自然数解为0和1
20. －14