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一次函数与方程不等式

一次函数与方程、不等式
要点一、一次函数与一元一次不等式
　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
要点二、一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
要点三、如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．

类型一、一次函数与一元一次不等式
例题1、如图，直线交坐标轴于A（－3，0）、B（0，5）两点，则不等式＜0的解集为（　　）
A．＞－3 B．＜－3 C．＞3 D．＜3

【思路点拨】＜0即＞0，图象在轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式＞0的解集.

【答案】A；
【解析】观察图象可知，当＞－3时，直线落在轴的上方，
即不等式＞0的解集为＞－3，
∵＜0
∴＞0，
∴＜0解集为＞－3．
【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
举一反三：
【变式】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不等式＋3≥0的解集是（　　）
A．≥0 B．≤0 C．≥2 D．≤2

例题2、直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（ ）．
A． B． C． D．无法确定

【答案】B；
【解析】从图象上看的解，就是找到在的上方的部分图象，看这部分图象自变量的取值范围.当时，，故选B.
【总结升华】本题考察了用数形结合的方法求解不等式的大小关系，解题的关键是找出表示两条直线的交点的横坐标，再根据在上方的图象表示的函数值大，下方的图象表示的函数值小来解题.
举一反三：
【变式】直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式＜的解集为（　　）
A．＞1 B．＜1 C．＞－2 D．＜－2

例题3、画出函数的图象，并利用图象求：
(1)方程2＋1＝0的解；
(2)不等式2＋1≥0的解集；
(3)当≤3时，的取值范围；
(4)当－3≤≤3时，的取值范围．
【思路点拨】可用两点法先画出函数的图象，方程2＋1＝0的解从“数”看就是自变量取何值时，函数值是0，从“形”看方程2＋1＝0的解就相当于确定直线与轴的交点，故图象与轴交点的横坐标就是方程2＋1＝0的解．同理：图象在轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式2＋1＞0的解集．
【答案与解析】
解：列表：

0

1
0
在坐标系内描点(0，1)和，并过这两点画直线，即得函数的图象．如图所示．

(1)由图象可知：直线与x轴交点，
∴ 方程2＋1＝0的解为；
(2)由图象可知：直线被轴在点分成两部分，在点右侧，图象在轴的上方．故不等式2＋1≥0的解集为；
(3)过点(0，3)作平行于轴的直线交直线于点M，过M点作轴的垂线，垂足为N．则N点坐标为(1，0)；从图象上观察，在点(1，0)的左侧，函数值≤3，则当≤3时，自变量的取值范围是≤1；
(4)过(0，－3)作轴的平行线交直线于点P，过P作轴的垂线，垂足为H，则点H的坐标为(－2，0)．观察图象，在(－2，0)的右侧，在(1，0)的左侧，函数值－3≤≤3．∴ 当－3≤≤3时，自变量的取值范围是－2≤≤1．
【总结升华】仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系：　　 (1)一元一次方程(是已知数)的解就是直线上这点的横坐标；(2)一元一次不等式≤≤(，是已知数，且＜)的解集就是直线上满足≤≤那条线段所对应的自变量的取值范围；(3)一元一次不等式≤(或≥)(是已知数)的解集就是直线上满足≤(或≥)那条射线所对应的自变量的取值范围.
举一反三：
【变式】如图，直线是一次函数的图象，点A、B在直线上．根据图象回答下列问题：

（1）写出方程＝0的解；
（2）写出不等式＞1的解集；
（3）若直线上的点P（，）在线段AB上移动，则、应如何取值．
类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题

例题4、（1）如图，是函数的图象，它与轴的交点坐标是（－3，0），则方程＝0的解是_________；不等式＞0的解集是__________.
（2）如图：OC，AB分别表示甲、乙两人在一次赛跑中．各自的路程S（米）和时间t（秒）的函数图象，根据图象写出一个正确的结论___________.

【答案】
（1）；；
（2）根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当＝9秒时，两个人跑的路程相等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快．乙的速度比甲的速度快；（答案不唯一）
【解析】
（1）从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得方程＝0的解和不等式＞0的解集．
（2）根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当＝9秒时，两个人跑的路程相等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快．乙的速度比甲的速度快；（答案不唯一）
一.选择题
1. 函数的图象如图所示，则关于的不等式＜0的解集是（ ）
A．＞0 B．＜0
C．＞2 D．＜2

2. 观察函数和的图象，当＝1，两个函数值的大小为（　　）
A．＞ B．＜ C．＝ D．≥

3. 已知关于的不等式＞0（≠0）的解集是＜1，则直线与轴的交点是（　　）
A．（0，1） B．（－1，0） C．（0，－1） D．（1，0）
4. 如图，已知函数和的图象交于点P（－2，－5），则根据图象可得不等式＞的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．

5. 如图，反映了某公司的销售收入与销售量的关系，反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（ ）

A．小于3吨 B．大于3吨 C．小于4吨 D．大于4吨
6. 如图，已知函数和的图象交于点P（－2，－5），则下列结论正确的是（　　）

A．＜－2时，＜ B．＜－2时，＞
C．＜0 D．＜0
二.填空题
7. 不等式2－6＜＋6的解集，表示对于同一个的值，函数的图象上的点在的图象上的点的_______方.
8. 已知直线和的图象如图所示，根据图象填空．当______时，＝；当_______时，＜；方程组的解是______.

9. 一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当时，中，正确的是______．

10. 一次函数与的图象如图所示，则当______时，＜；当______时，＝；当______时，＞．

11. 已知，，如果＞，则的取值范围是_______
12. 已知不等式＞的解集是＜2，则直线与的交点坐标是_______.
三.解答题
13. 在同一直角坐标系中
（1）作出函数和的图象．
（2）用图象法求不等式＞的解集.
14. 如图所示，根据图中信息．
（1）你能写出、的值吗？
（2）你能写出P点的坐标吗？
（3）当为何值时，＞ ？

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