函数、方程、不等式解题方法集锦.doc

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高三数学复习-————-——-—函数、方程、不等式解题方法集锦
函数是高中数学的重要内容,也是历年高考所占比例最大的的一部分内容。对函数内容的考查一般都高于大纲的要求，高考试题中对函数内容的考查主要集中在函数的概念、性质,函数图象的变换等方面,并注意与方程、不等式、数列等内容相联系，进行综合考查,在考查中突出函数的思想、数形结合的思想。特别需注意的是在复习中必须加强对二次函数的再学习，再认识，从新的角度研究二次函数,加深对二次函数的理解和掌握。方程可看作函数值为零时的函数的解析式,而不等式则是函数的图象位于x轴上方的情形.在解决方程、不等式的有关问题时，可以从函数的角度去思考、分析和解决;在解决函数的有关问题时，可以借助方程、不等式的有关知识去理解和解决。这是解决这类问题的一个重要的策略.
一、对函数、方程、不等式的基本问题要熟练掌握
象函数有关的概念、基本性质、函数的图象及解不等式等问题都是基本问题,在高考试题中一般都是中、低档题目，所以必须提高解决这类问题的准确性和熟练性。
【例1】(99年全国）已知映射f：A→B，其中集合A=｛—3，—2，-1，1,2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是｜a｜,则集合B中元素的个数是（ )
A.4 B.5 C。6 D.7
分析:解决此题的关键有两个，一是要熟悉映射的定义，二是准确理解题意.根据映射的定义，可知对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应；而根据题意，集合B是集合A的象集,由对应法则，不难得出集合B=｛1，2,3，4｝，故应选A。
【例2】（99年全国）若函数y=f(x）的反函数是y=g(x）,f(a）=b，ab≠0，则g(b）等于
A.a B。a—1 C.b D。b-1
分析：此题主要考查反函数的概念。g（b)是函数y=f（x)当函数值为b时的自变量的值，所以g(b)= a，故选A。
与此相类似的还有:
（2000年上海春季）若函数f（x）=，则f-1（）= 。
【例3】(2001年全国春季）设函数f(x)=，求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。
分析：解决有关概念问题，一般都可以从它的定义开始。这个函数的单调区间既可以利用图象来求，也可以利用定义域结合特殊值的方法来求；证明也有两种方法，一是利用单调性的定义，二是利用函数的导数证明.
解法1:函数f(x)=的定义域为（—∞,-b)∪（—b,+∞)。函数f（x）在(-∞，-b）上是减函数，在(-b，+∞）上也是减函数。
取x1,x2∈（-b,+∞),且x1<x2那么
f（x1）—f（x2）=。
∵a-b>0，x2-x1〉0,(x1+b)(x2+b）〉0.
∴f(x1）—f（x2）〉0,即f（x）在(—b，+∞)上是减函数。
同理可证f(x)在（-∞，-b）上也是减函数。
解法2:f/(x）=，显然，当x≠—b时，f/（x）〈 0恒成立,所以函数f（x)在(-∞，—b）∪(-b,+∞）上是减函数。
不难看出，利用导数解决有关单调性的问题有时还是很方便的.
【例4】（2000年全国）设函数f(x)=,其中a〉0。解不等式:f(x） ≤1。
分析：这个不等式是一个无理不等式，解无理不等式的基本思路是转化为有理不等式，然后再解.转化的基本方法是两边平方，在两边平方时要注意等价性。
解：f(x） ≤1即

由（2）得：x[(a2—1)x+2a]0.
当 0〈a<1时,得:;当 a=1时，得：x0;
当 a>1时,得：x0或。而这时因为，所以，当0<a<1时，原不等式的解集为：｛x｜｝;当a1时，原不等式的解集为：｛x| x0｝.
解不等式是一个基本技能，应熟练掌握每一类不等式的基本解法，清楚容易发生的错误,这样才可能在解决时避免出现类似的错误。
【例5】（2000年上海）已知函数f（x）=,x∈。
(1)当a=时，求函数f（x）的最小值;
(2)若对任意的x∈，f（x)>0恒成立，试求a的取值范围。
分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用.当a=时，f(x）=，当且仅当时等号成立，而,也就是说这个最小值是取不到的。
解：(1)当a=时，f(x）=,这时f/(x）=1-,当x∈时,f/(x)>0，说明函数f（x)为增函数，所以当x=1时，取到最小值f(1）=3.5.
（2)解法1：f（x）〉0恒成立，就是x2+2x+a>0恒成立，而函数g(x）=x2+2x+a在上增函数，所以当x=1时，g(x)取到最小值3+a，故3+a〉0，得:a〉-3。
解法2：f（x）>0恒成立,就是x2+2x+a〉0恒成立,即a〉—x2-2x恒成立,这只要a大于函数-x2—2x的最大值即可。而函数—x2—2x在上为减函数，当x=1时，函数-x2—2x取到最大值—3，所以a〉-3。
函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题,也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题。
二、对函数、方程、不等式之间的联系要能灵活运用
【例6】（97年全国）不等式组的解集是
A．{x｜0<x<2} B．{x|0<x〈2。5} C．｛x|0〈x<｝ D．{x｜0<x<3｝
分析：本题若直接去解，则运算比较复杂。如果知道不等式的解集的端点是它所对应的方程的根或是定义域的端点，则采用代入法即可很快得到答案。此题的正确答案为C。
0 1 2 x
y
【例7】(2000年春季)已知函数f（x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则
A.b∈（-∞，0） B。 b∈(0,1)
C. b∈（1,2） D。 b∈（2,+∞）
分析：显然，（想方程）方程f（x）=0的根为0、1、2，所以，可以设f（x)=ax(x-1)(x—2),与f（x)=ax3+bx2+cx+d比较可得:b=—3a。(想不等式）又x〉2时，有f（x）>0，于是有a>0，故b〈0.
【例8】(2000年全国）已知函数f(x）=,求a的取值范围，使函数f(x）在区间上是单调函数.
分析:设x1,x2∈ ,且x1<x2,则：f(x1）—f(x2）=
=
==。
由于x1-x2〈0，所以无论是证明还是探索,都要从人手,由，同理,故>x1+x2〉0。从而<1。
当a1时，函数f（x)是减函数;
（想方程）当0<a<1时，在区间上存在两点x1=0，x2=,满足f（x1)=1，f(x2)=1,即f（x1)=f(x2），所以函数f（x）在区间 上不是单调函数。
说明：（1)本题解决的关键就是利用方程来说明函数不具有单调性;
（2)本题也可以利用求导数的方法解决。
三、对二次函数的理解和掌握要更加深刻
二次函数的解析式有三种形式:
（1）一般式：y=ax2+bx+c
（2）顶点式：y=a（x—m)2+n,其中(m，n)是抛物线的顶点。
（3）两根式：y=a(x-x1）(x-x2），其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根.
【例9】已知二次函数y= ax2+bx+c。
(1）对于x1,x2∈R,且x1〈 x2，f(x1)f(x2)，求证：方程f(x)=［f（x1)+f（x2）］有两个不相等的实根，且只有一个根属于(x1,x2)；
（2)若方程f(x)=[f（x1)+f（x2）］在（x1,x2）内的根为m，且x1,m-,x2成等差数列，设x=x0是f(x)的对称轴方程，求证:x0<m2。
分析：方程f(x）=［f(x1）+f(x2)]显然是一个二次方程，所以可用判别式证明。
证明：（1）整理得：2ax2+2bx-a(x12+x22）-b（x1+x2）=0,
=4b2+8a [a(x12+x22)+b（x1+x2)］=2（2ax1+b）2+2(2ax2+b)2>0(x1x2)。
设g（x)= f（x)—［f(x1)+f(x2）],则
因为g(x1）g(x2)= ｛f(x1）—［f（x1)+f(x2）]}｛ f(x2)-[f（x1)+f（x2)]}
=［f(x1)—f(x2）]2<0（f(x1)f（x2))，所以在(x1，x2）上必有一个实根。
（2)因为x1,m—，x2成等差数列，所以x1+x2=2m—1.
由2f(m)= f(x1）+f(x2)，得：a(2m2—x12-x22）+b(2m—x1-x2)=0，将上式代入，得：
b=-a（2m2—x12-x22),所以x0=。
【例10】（97年全国）设二次函数f(x)= ax2+bx+c,方程f（x）—x=0的两根x1,x2满足0<x1〈x2<.
（1）当x∈(0，x1）时，证明：x<f(x）〈x1.
(2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0〈。
分析：(1）欲证x〈f(x)<x1,只要0〈f（x)- x〈x1-x,即0<a（x—x1）（x—x2）<x1—x，
同除a(x—x1）〈0，得：0〈 x2—x〈。
（2)欲证x0〈,即证〈,而x1,x2是方程ax2+（b-1）x+c=0的两根,所以x1+x2=，故=。
【例11】已知a，b,c∈R，函数f（x)= ax2+bx+c。
(1)若a+c=0,f(x)在［—1,1］上的最大值为2，最小值为，证明：a0且｜|〈2；
（2）若a>0,p、q满足p+q=1，且对任意的实数x、y均有pf（x）+qf（y）≥f（px+qy)，证明：0≤p≤1。
分析：（1）用反证法.假设a=0或|｜≥2，由a+c=0,得a=—c，故f（x）= ax2+bx— a。
当a=0时，f（x)= bx，是一个单调函数，其最大值为|b｜,最小值为—｜b|,又已知得：|b｜=2且—|b|=,矛盾,故a0。
当｜｜≥2时,｜—|≥1，函数f（x）在[—1,1]上也是单调函数，由上可知矛盾，故||〈2。
综合以上两种情况,得a0且||<2;
(2)pf(x）+qf(y）—f（px+qy）=p(ax2+bx+c)+q(ay2+by+c）-［a(px+qy）2+b（px+qy)+c］
=ap（1-p）2x2-2apqxy+aq(1—q)y2=apq（x—y)2≥0,因为a〉0，(x-y）2≥0，所以pq≥0，p(1—p)≥0,故0≤p≤1.