函数、方程、不等式解题方法集锦.doc

个人收集整理 勿做商业用途高三数学复习-函数、方程、不等式解题方法集锦函数是高中数学的重要内容,也是历年高考所占比例最大的的一部分内容。对函数内容的考查一般都高于大纲的要求，高考试题中对函数内容的考查主要集中在函数的概念、性质,函数图象的变换等方面,并注意与方程、不等式、数列等内容相联系，进行综合考查,在考查中突出函数的思想、数形结合的思想。特别需注意的是在复习中必须加强对二次函数的再学习，再认识，从新的角度研究二次函数,加深对二次函数的理解和掌握。方程可看作函数值为零时的函数的解析式,而不等式则是函数的图象位于x轴上方的情形.在解决方程、不等式的有关问题时，可以从函数的角度去思考、分析和解决;在解决函数的有关问题时，可以借助方程、不等式的有关知识去理解和解决。这是解决这类问题的一个重要的策略.一、对函数、方程、不等式的基本问题要熟练掌握象函数有关的概念、基本性质、函数的图象及解不等式等问题都是基本问题,在高考试题中一般都是中、低档题目，所以必须提高解决这类问题的准确性和熟练性。【例1】(99年全国）已知映射f：AB，其中集合A=3，2，-1，1,2，3，4，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的aA，在B中和它对应的元素是a,则集合B中元素的个数是（ )A.4B.5C。6D.7分析:解决此题的关键有两个，一是要熟悉映射的定义，二是准确理解题意.根据映射的定义，可知对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应；而根据题意，集合B是集合A的象集,由对应法则，不难得出集合B=1，2,3，4，故应选A。【例2】（99年全国）若函数y=f(x）的反函数是y=g(x）,f(a）=b，ab0，则g(b）等于A.aB。a1C.bD。b-1分析：此题主要考查反函数的概念。g（b)是函数y=f（x)当函数值为b时的自变量的值，所以g(b)= a，故选A。与此相类似的还有:（2000年上海春季）若函数f（x）=，则f-1（）= 。【例3】(2001年全国春季）设函数f(x)=，求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。分析：解决有关概念问题，一般都可以从它的定义开始。这个函数的单调区间既可以利用图象来求，也可以利用定义域结合特殊值的方法来求；证明也有两种方法，一是利用单调性的定义，二是利用函数的导数证明.解法1:函数f(x)=的定义域为（,-b)（b,+)。函数f（x）在(-，-b）上是减函数，在(-b，+）上也是减函数。取x1,x2（-b,+),且x10，x2-x10,(x1+b)(x2+b）0.f(x1）f（x2）0,即f（x）在(b，+)上是减函数。同理可证f(x)在（-，-b）上也是减函数。解法2:f/(x）=，显然，当xb时，f/（x） 0恒成立,所以函数f（x)在(-，b）(-b,+）上是减函数。不难看出，利用导数解决有关单调性的问题有时还是很方便的.【例4】（2000年全国）设函数f(x)=,其中a0。解不等式:f(x） 1。分析：这个不等式是一个无理不等式，解无理不等式的基本思路是转化为有理不等式，然后再解.转化的基本方法是两边平方，在两边平方时要注意等价性。解：f(x） 1即由（2）得：x(a21)x+2a0.当 0a1时,得：x0或。而这时因为，所以，当0a0恒成立，试求a的取值范围。分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用.当a=时，f(x）=，当且仅当时等号成立，而,也就是说这个最小值是取不到的。解：(1)当a=时，f(x）=,这时f/(x）=1-,当x时,f/(x)0，说明函数f（x)为增函数，所以当x=1时，取到最小值f(1）=3.5.（2)解法1：f（x）0恒成立，就是x2+2x+a0恒成立，而函数g(x）=x2+2x+a在上增函数，所以当x=1时，g(x)取到最小值3+a，故3+a0，得:a-3。解法2：f（x）0恒成立,就是x2+2x+a0恒成立,即ax2-2x恒成立,这只要a大于函数-x22x的最大值即可。而函数x22x在上为减函数，当x=1时，函数-x22x取到最大值3，所以a-3。函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题,也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题。二、对函数、方程、不等式之间的联系要能灵活运用【例6】（97年全国）不等式组的解集是Ax0x2Bx|0x2。5Cx|0xDx0x0，于是有a0，故b0.【例8】(2000年全国）已知函数f(x）=,求a的取值范围，使函数f(x）在区间上是单调函数.分析:设x1,x2 ,且x1x1+x20。从而1。当a1时，函数f（x)是减函数;（想方程）当0a1时，在区间上存在两点x1=0，x2=,满足f（x1)=1，f(x2)=1,即f（x1)=f(x2），所以函数f（x）在区间 上不是单调函数。说明：（1)本题解决的关键就是利用方程来说明函数不具有单调性;（2)本题也可以利用求导数的方法解决。三、对二次函数的理解和掌握要更加深刻二次函数的解析式有三种形式:（1）一般式：y=ax2+bx+c（2）顶点式：y=a（xm)2+n,其中(m，n)是抛物线的顶点。（3）两根式：y=a(x-x1）(x-x2），其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根.【例9】已知二次函数y= ax2+bx+c。(1）对于x1,x2R,且x1 x2，f(x1)f(x2)，求证：方程f(x)=f（x1)+f（x2）有两个不相等的实根，且只有一个根属于(x1,x2)；（2)若方程f(x)=f（x1)+f（x2）在（x1,x2）内的根为m，且x1,m-,x2成等差数列，设x=x0是f(x)的对称轴方程，求证:x00(x1x2)。设g（x)= f（x)f(x1)+f(x2）,则因为g(x1）g(x2)= f(x1）f（x1)+f(x2） f(x2)-f（x1)+f（x2)=f(x1)f(x2）20（f(x1)f（x2)，所以在(x1，x2）上必有一个实根。（2)因为x1,m，x2成等差数列，所以x1+x2=2m1.由2f(m)= f(x1）+f(x2)，得：a(2m2x12-x22）+b(2mx1-x2)=0，将上式代入，得：b=-a（2m2x12-x22),所以x0=。【例10】（97年全国）设二次函数f(x)= ax2+bx+c,方程f（x）x=0的两根x1,x2满足0x1x2.（1）当x(0，x1）时，证明：xf(x）x1.(2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0。分析：(1）欲证xf(x)x1,只要0f（x)- xx1-x,即0a（xx1）（xx2）0,p、q满足p+q=1，且对任意的实数x、y均有pf（x）+qf（y）f（px+qy)，证明：0p1。分析：（1）用反证法.假设a=0或|2，由a+c=0,得a=c，故f（x）= ax2+bx a。当a=0时，f（x)= bx，是一个单调函数，其最大值为|b,最小值为b|,又已知得：|b=2且|b|=,矛盾,故a0。当2时,|1，函数f（x）在1,1上也是单调函数，由上可知矛盾，故|2。综合以上两种情况,得a0且|2;(2)pf(x）+qf(y）f（px+qy）=p(ax2+bx+c)+q(ay2+by+c）-a(px+qy）2+b（px+qy)+c=ap（1-p）2x2-2apqxy+aq(1q)y2=apq（xy)20,因为a0，(x-y）20，所以pq0，p(1p)0,故0p1.