两角和与差的三角函数.doc

省栟中高一数学复习讲义 编写：缪海军
两角和与差的三角函数
【课前预习】
1．化简的结果为_______
2．已知3cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，则tan(α＋β)·tanα的值为
3．函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．
4．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为______．
5．函数f(x)＝的定义域为(0，)，则函数f(x)的值域为________．
6．已知，则= ▲ ．
解答：，
，又，所以。[来源:学*科*网Z*X*X*K]
。
【典型例题】
1．已知cosα－sinα＝，且π<α<π，求的值．
因为cosα－sinα＝，所以1－2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝.
又α∈(π，)，故sinα＋cosα＝－＝－，
所以＝＝＝＝－.
2．已知－＜x＜0，sinx＋cosx＝，求：
(1)sinx－cosx的值；
(2)求的值．
解：(1)由sinx＋cosx＝，得2sinxcosx＝－.
∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝，
∵－＜x＜0.∴sinx＜0，cosx＞0.
∴sinx－cosx＜0.故sinx－cosx＝－.
(2)
＝
＝sinxcosx
＝sinxcosx[2(1－cos2)－sinx＋1)]
＝sinxcosx
＝sinxcosx(－cosx＋2－sinx)
＝× ＝－.
3．已知＋＝，且α，β为锐角．求的值．
解：∵＝＋ ＝ ＝∴＝，
即cos2α＋cos2β＝2cos2αcosβ，
∴2cos2α－1＋2cos2β－1＝2cos2αcosβ，[来源:]
cos2α(1－cosβ)＝1－cos2β，又β为锐角，
∴cos2α＝1＋cosβ，∴cos2α＝2cos2.
又α，β为锐角，∴＝.
4．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α、 β的值．
解：(1)由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，
故a⊥b.
(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，
所以
由此得，cosα＝cos(π－β)，
由0<β<π，得0<π－β<π，
又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1得，
sinα＝sinβ＝，而α>β，
所以α＝，β＝.[来源:]
5．已知在△ABC中，0<A<，0<B<，sin A＝，tan(A－B)＝－.
求：(1)tan B的值；(2)A＋2B的大小．
解　(1)∵A，B是锐角，sin A＝，
∴cos A＝，tan A＝，
∴tan B＝tan[A－(A－B)]＝
＝＝(或解tan(A－B)＝＝
＝－，∴tan B＝)．
(2)∵tan B＝，
∴tan 2B＝＝＝，
∴tan(A＋2B)＝
＝＝1.
又tan A＝<1，tan B＝<1.
∵A，B是锐角，
∴0<A<，0<B<，
∴0<A＋2B<.
∴A＋2B＝.

6．已知函数的最小正周期为，且.
（1）求和的值；
（2）设，；求的值.
解：（1）依题意得， ∴ （2分）
由得,即 ， ∴ （4分）
∴ （5分）
（2）由得，即
∴, （6分）
又∵,∴ （7分）
由得,即
∴, （9分）
又∵,∴ （10分）
(12分)
已知，则= ▲ ．
解答：，
，又，所以。[来源:学*科*网Z*X*X*K]
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