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第二讲 基本初等函数
【基础回顾】
一、基础知识：
1．二次函数
（1）二次函数的三种形式为：
一般式：；
顶点式：，其中为抛物线顶点；
零点式：，其中、为方程的两根．
（2）二次函数的图象是抛物线, 以直线为对称轴, 顶点为，它与轴交点的横坐标是方程的根, 它在轴上截得线段长为: ．
当且时, 有恒成立；
当且时, 恒成立．
2. 幂函数
（1）我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
（2）幂函数的图像和性质：
无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。
①当时，幂函数图象在第一象限内是增函数，过点；
②当时，幂函数在第一象限内是减函数，过点．
3．指数函数与对数函数
（1）指数式与对数式的关系： 且
（2）指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称,，性质如下表所示：

二、基础达标：
1.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上是偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，
，则f(－2011)＋f(2012)的值为 ．
2．已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是__________函数(填“奇”或“偶”)．
3．二次函数的二次项系数为正，且对任意实数恒有，若，则的取值范围是 ．
4．设函数，若，则实数的取值范围是 ．
5．关于的方程有实根，则的取值范围是 ．

【典型例题】
例题1：已知二次函数，
⑴若，试判断函数零点的个数；⑵若对，试证明：，使成立； ⑶是否存在，使同时满足以下条件①对，且的最小值是0；②对对都有，若存在，求出的值，若不存在，说明理由。

例题2：已知函数满足．
（1）求的值并求出相应的的解析式；
（2）对于（1）中得到的函数，试判断是否存在，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由．

例题3：已知，（1）若关于x的方程的根都在区间内，求实数m的取值范围；（2）若在区间上单调递增，求实数m的取值范围．

例题4：已知函数是定义在上的奇函数．⑴求的值；
⑵求函数的值域； ⑶当时，恒成立，求实数的取值范围．

【巩固练习】
1．函数恰有三个零点，则＝________.　
2．（2008全国Ⅱ高考试题）若，则的大小关系是 ．
3．已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有 ．
4．若定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，且f()＝2，那么不等式的解集为 ．
5．已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；
(3)f(x)＝0的两根立方和等于17.则f(x)的解析式为 ．
6．已知函数在区间上是单调递减函数．则实数的取值范围是 ．
7．设 当x∈时, 恒成立, 则实数a的取值范围是 ．
8．已知x满足, 函数y＝的值域为, 则a= ．
9．设，则= ．
10．已知函数满足，且当时，。那么使不等式在时恒成立的最小整数 ．
11．已知常数, 变数x、y有关系.
(1)若, 试以a、t表示y ；
(2)若t在内变化时, y有最小值8, 求此时a和x的值．

12．已知幂函数的图像关于轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的的取值范围．

13．已知．(1)判断的奇偶性；(2)讨论的单调性；(3)当时，恒成立，求的取值范围．

14．设二次函数, 方程的两根满足
，（1）当时, 证明: ；
（2）设函数的图象关于直线对称, 证明: ．
.

【拓展提高】
★1．(2010年高考天津卷) 设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
★2．已知二次函数．
(1) 若对于任意R, 有成立, 求实数的取值范围；
(2) 若时，有, 试求实数的取值范围 ．

【总结反思】
第二讲 基本初等函数
【基础达标】
1.1； 2．奇； 3．（-2,0）； 4．(－1,0)∪(1，＋∞) ； 5．[-3,0）
【典型例题】
例题1：解：（1）由得，即，
又，当且仅当时取“=”，
所以当时，有一个零点；当时，有两个零点．
（2）令，则，
，∴，
∵，∴，∴，使成立．
（3）假设存在符合条件的的值，由①可知关于x=-1对称，且的最小值是0，即 ， ，
又对对都有，则，即，
∴ ， 从而．
例题2：解：（1）因为，所以在第一象限是增函数，
故，解得
又，所以或，当或时， 所以.
（2）假设存在满足题设，由（1）知，
因为，所以两个最值点只能在端点和顶点处取到，
而，所以，
，解得，所以存在满足题意.
例题3：解：（1），
， ，
令，则，∴的根都在区间，
∴ .
（2）在上单调递增，
令，则在上单调递减且恒大于0，
.
例题4：解：(1)方法一：∵是定义在上的奇函数，即恒成立，
，， ，
方法二：∵是定义在上的奇函数，∴f(0)＝0.
即1－＝0，解得a＝2，此时，
，∴为奇函数.
(2)∵，∴，由得，∴
即f(x)的值域为(－1,1)．
(3)方法一：不等式，即为，
即：，
设，∵，∴，∵时恒成立，
∴，解得.
方法二：∵，∴，，
∴不等式恒成立，即
令，，，
则恒成立，∴在上单调递增，∴，
从而.
【巩固练习】
1．4； 2．<<； 3．③④； 4．； 5．；
6．； 7．； 8．； 9．5； 10．-6；11．（1）；（2）a=16,x=64；12．；13．（1）奇函数；（2）在R上是增函数；（3）(－∞，－1] ；14．证明：（1）令.是方程的两根，∴.
当时，由于所以.
又因，得.
即从而得到．
又因,
因，∴.
因,
∴.
综上可知.
（2）由题意知是方程的两根,
即是方程的两根,
∴.
∴．
∴.
又因, ∴.

【拓展提高】
★1． ；
★2. (1) 因函数是二次函数得
又因对于任意R, 有成立, 得到函数是凹函数,
从而得出
(2) 由等价于, 即, 而x,
① 当时, ,式显然成立;
② 当x时, 式化为在x上恒成立.
设, 则有所以只须

又, 故得到.
综上所述, a的取值范围是．

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